zérologie

samok

définition : Un ensemble est fini s'il n’est pas en bijection avec lui-même privé d’un

élément. Un ensemble est infini s'il n’est pas fini.

Avec cette définition :

(1) L'ensemble vide est fini.

(2) L'ensemble vide est infini.

(3) Ni (1) ni (2).

C'est pour un sondage, merci de vos réponses avec ou sans argumentation. 

Le contexte est la théorie dite naïve des ensembles.

zeitnot

Je réponds au sondage en disant que je ne suis pas d'accord avec la définition.

Je préfère un ensemble est fini s'il ne peut pas être mis en bijection avec une partie stricte de lui-même. Ou un truc du genre, pour éviter de se faire escroquer avec l'ensemble vide.

Foys

Le piège est dans la définition d'infini: "privé d'un élément" doit être remplacé par "privé d'un élément qui lui appartient".

Sans cette restriction, on montre que $\{1,2,3\}$ est infini de la manière suivante: d'abord, l'ensemble $w$ suivant d'apartient pas à $\{1,2,3\}$: $w:= \{x \in \{1,2,3\} \mid x \notin x\}$ (si $w$ appartenait à $\{1,2,3\}$ on aurait $w\in w$ si et seulement si $w\notin w$).

Ensuite, comme $\{1,2,3 \} \backslash \{w\} = \{1,2,3\}$, l'application identité $x \mapsto x$ est alors une bijection de $\{1,2,3\}$ dans $\{1,2,3 \} \backslash \{w\}$ ce qui en fait un ensemble infini au sens de la définition du fil (ainsi cette dernière pourrait ne pas être pertinente).

samok

Bonjour zeitnot,

je préfère aussi ta définition, mais tu ne réponds pas à mon sondage.

Bonjour Foys,

pour moi, en lisant la définition, c'était implicite que l'élément retiré était un élément de l'ensemble de départ. Ok je sais que tu n'aimes pas les implicites.

Définition : Un ensemble est fini s'il n’est pas en bijection avec lui-même privé d’un

élément qui lui appartient. Un ensemble est infini s'il n’est pas fini.

Avec cette définition :

(1) L'ensemble vide est fini.

(2) L'ensemble vide est infini.

(3) Ni (1) ni (2).

Que réponds-tu ?

Foys

Bonjour @samok; Je réponds (1): $\emptyset$ (l'ensemble vide) est fini. En effet, sinon, par définition, il existe un élément $t$ dans $\emptyset$ et une bijection $f$ de $\emptyset$ dans $\emptyset \backslash \{t\}$. Mais $t\in \emptyset$ entraîne une contradiction.

Médiat_Suprème

Je préfère la définition de Tarski : Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion.
Définition qui n'a pas besoin de AC pour correspondre à ce que l'on en attend (contrairement à la définition de Dedekind).

Avec cette définition la réponse concernant l'ensemble vide est triviale

lourrran

Pour que ta discussion puisse se dérouler 'sainement', je t'invite à reformuler ta toute première définition : 

définition : Un ensemble est Samok-fini s'il n’est pas en bijection avec lui-même privé d’un élément. Un ensemble est Samok-infini s'il n’est pas Samok-fini.

Ainsi, ce sera clair que c'est une notion différente de la notion classique d'ensemble fini ou infini, Restera à vérifier si cette définition est cohérente, ou s'il reste des trous dans la raquette.

Médiat_Suprème

La samok finitude requiert l'axiome du choix,, sinon même problème qu'avec la définition de Dedekind.

samok

Bonjour lourran,

c'est pas cool de m'ironiser ainsi, en adjectivant mon pseudo à une définition.

Par ailleurs tu ne réponds pas non plus au sondage.

Seulement Foys y a répondu. 

Merci Foys

Médiat_Suprème

Etablir des théorèmes par sondage, c'est nouveau ça.

samok

Pour ma part je réponds (2)

$\forall \,x \in \emptyset\text{ : } \emptyset-\{x\}=\emptyset$

Quelque soit l'élément $x$ (qui appartient à l'ensemble vide) retiré à l'ensemble vide, l'ensemble vide est inchangé, égal à lui même.
$\emptyset \text{ est en bijection avec } \emptyset$ car son graphe est $\emptyset$ qui vérifie les critères de surjectivité
et d'injectivité essentiellement avec ce qui te fait répondre (1), sieur Foys.

Donc $\emptyset$ est un ensemble infini.

GaBoZuMeu, reviens, je t'aime, moi, même si ce n'est pas réciproque

samok

Je mets en pièce jointe, le document où j'ai pécho cette def tombée du camion (page 4).

Personnellement j'ai appris à comprendre ce qu'est une définition.

JLapin

$E$ est fini ssi $\forall t, t\in E \implies  E\setminus \{t\} \simeq E$.

Par négation, $E$ est infini ssi $\exists t, t\in E\text{ et}\ E\setminus \{t\} \simeq E$.

Ainsi, l'ensemble vide est fini, essentiellement faute de contre-exemple.

@samok :  un "pour tout" n'entraîne une existence que si l'ensemble considéré est non vide.

Foys

samok a dit :

Pour ma part je réponds (2)

$\forall \,x \in \emptyset\text{ : } \emptyset-\{x\}=\emptyset$

Quelque soit l'élément $x$ (qui appartient à l'ensemble vide) retiré à l'ensemble vide, l'ensemble vide est inchangé, égal à lui même.
$\emptyset \text{ est en bijection avec } \emptyset$ car son graphe est $\emptyset$ qui vérifie les critères de surjectivité
et d'injectivité essentiellement avec ce qui te fait répondre (1), sieur Foys.

Donc $\emptyset$ est un ensemble infini.

GaBoZuMeu, reviens, je t'aime, moi, même si ce n'est pas réciproque

@samok ton raisonnement démontre le théorème de maths suivant: $\forall x \in \emptyset, \emptyset$ est infini $(*)$ (puisqu'il commence par "soit $x$ dans $\emptyset$").

Afin d'en conclure que $\emptyset$ est un ensemble infini, il faudrait trouver au moins un $t$ dans l'ensemble vide afin de lui appliquer $(*)$. Mais je doute que ce soit possible.

samok

par abnégation je vous laisse juge JLapin,

merci Foys de mettre en évidence que ce que  je démontre est stylé. sourire jaune ?

gerard0

Rappel :  l'implication $\forall t, t\in E \implies  E\setminus \{t\} \simeq E$ est  vraie pour $E=\emptyset$.

Cordialement.

Foys

@Médiat_Suprème   L'axiome du choix dépendant suffit à montrer qu'un ensemble infini au sens de Tarski l'est aussi au sens de Dedekind -  la réiproque étant évidente (Etant donné $X$ Tarski-infini et $(x_0,...,x_{n-1})\in X^n$ distincts tels que $X_n:= X \backslash \{x_0,...,x_{n-1}\}$ est infini au sens de Tarski, on voit facilement que $X_n$ est non vide et que pour tout $y\in X_n$, $X \backslash \{x_0,..., x_{n-1},y\}$ est encore infini au sens de Tarski).

On suppose ZF privé de l'axiome de l'infini (et aussi de l'axiome de fondation et de toute forme d'axiome du choix). Est-il vrai que s'il existe un ensemble infini au sens de Tarski, il existe aussi un ensemble infini au sens de Dedekind?