Intégrale impropre

Sachaben

Bonjour 
On me demande l'existence en + l'infini de l'intégrale entre 1 et + l'infini de ln(X)* sin(X)/X . Comment s'y prendre ? Je n'ai pas d'équivalent simple ou de petits Taux convergente

Merci pour toute aide 

Fin de partie

\begin{align}\int_1^A\frac{\sin x\ln x}{x}dx&\overset{\text{IPP}}=-\left[\frac{\cos x\ln x}{x}\right]_1^A+\int_1^A\cos x\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}\right)dx\\ &=-\frac{\cos A\ln A}{A}+\int_1^A\frac{\cos x}{x^2}dx-\int_1^A\frac{\cos x\ln x}{x^2}dx\\ &\overset{\text{IPP}}=-\frac{\cos A\ln A}{A}+\int_1^A\frac{\cos x}{x^2}dx-\left[\frac{\sin x\ln x}{x^2}\right]_1^A+\int_1^A \sin x\left(\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}\right)dx \end{align}

Sachaben

Merci beaucoup 
On aurait pu s'arrêter à la 1ere ligne en considérant un petit taux d'une intégrale convergente, non?

Hypocrates

Comment démontrer que $\int_1^{\infty} ln(x) sin(x)/x dx$ est la dérivée en zéro de $\int_1^{\infty} x^{s-1} sin(x) dx$ ?

Fin de partie

@Sachaben : il n'est pas évident a priori  pour moi que l'intégrale
\begin{align}\int_1^\infty\frac{\cos x\ln x}{x^2}dx\end{align} converge.

Etienne

$\left|\frac{\cos x \ln x}{x^2} \right| \leq \frac{\ln(x)}{x^2} \leq \frac{C}{x^{3/2}}$, avec $C$ suffisamment grand pour que $\ln x \leq C \sqrt{x}$, par exemple $C=2$ suffit. On a ainsi convergence absolue et donc convergence.

Math Coss

La question semble résolue alors je glisse une remarque de style : c'est « petit o » pour $o(x^{-3/2})$ (et « grand o » pour $O(x^{-3/2})$), il n'y a pas de « taux » dans cette histoire.

jean lismonde

Bonjour

L'intégrale initiale de Sachaben converge en effet
mais avec une borne inférieure égale à 1 il est difficile de la calculer précisément
par contre si la borne inférieure est nulle, il s'agit d'une intégrale classique :

$\int_0^{+\infty}\frac{sinx}{x}ln(x)dx= - \frac{\pi}{2}\gamma$ 

avec $\gamma$ la constante d'Euler

il s'agit d'une application intégrale de la fonction Gamma
lorsque x tend vers - 1 dans l'intégrale génératrice :

$\int_0^{+\infty}t^x(lnt)sintdt = -\frac{\pi}{2}sin\frac{\pi.x}{2}\Gamma(x+1) + cos\frac{\pi.x}{2}.\Gamma'(x+1)$

Cordialement

JLT

Plus généralement soit $f$ une fonction dont les primitives sur $[1,+\infty[$ sont bornées et $g$ une fonction dérivable décroissante tendant vers $0$. Alors $\int_1^{+\infty} f(x)g(x)\,dx$ converge.