cubique passant par les points de Brocard

RHOM

Salut à tous 

Soient $ABC$ un triangle, $G,S$ l'isobarycentre et le point symmedian  ;

$P_1=AS\cap BG,P_2=AG\cap CS, P_3=BS\cap CG$;

$R_1=AG\cap BS,R_2=AS\cap CG, R_3=BG\cap CS$

$Q=  P_1R_1\cap P_2  R_2$.

Prouver que la  cubique  passant par $A,B,C,P_1,P_2,P_3,R_1,R_2,R_3,Q$ passe également par les points de Brocard   $B_r,B'_r $ du triangle $ABC$.
cordialement.
RH HAS

Vassillia

Bonjour, je ne comprends pas trop la question, pour moi, il y a plein de cubiques qui passent par les points indiqués.

La suite se fait avec $A$, $B$ et $C$ pour repère barycentrique et $a=Distance(B,C)$, $b=Distance(C,A)$, $c=Distance(A,B)$

En partant de la cubique dégénérée engendrée par $(GA)$, $(GB)$ et $(GC)$ on trouve l'équation $(x - y)(x - z)(y - z)=0$. Et en partant de la cubique dégénérée engendrée par $(SA)$, $(SB)$ et $(SC)$ on trouve l'équation $(b^2x - a^2y)(c^2x - a^2z)(c^2y - b^2z)=0$.

Pour les avoir toutes si on admet que $t$ le paramètre peut aller jusqu'à l'infini, on peut écrire $t(x - y)(x - z)(y - z)a^2b^2c^2 + (b^2x - a^2y)(c^2x - a^2z)(c^2y - b^2z)=0$.

Remarque la multiplication par $a^2b^2c^2$ ne sert à rien mais c'est plus joli car ainsi lorsque $t=1$ on retrouve la cubique passant par les points de Brocard 

Vous pouvez faire varier $t$ dans cette animation https://www.geogebra.org/classic/dgbahcec et les points de Brocard ne sont pas toujours dessus. Je me demande ce que j'ai compris de travers ?

RHOM

Merci Vassillia vous avez raison il manque le dixième point.

j'ai rectifié.

cordialement

RH HAS

Rescassol

Bonjour;

%  RHOM - 20 Octobre 2024 - cubic passant par les points de Brocard

clear all, clc

syms a b c real

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

G=[1; 1; 1]; S=[a^2; b^2; c^2]; % Centre de gravité et point de Lemoine
P1=Wedge(Wedge(A,S),Wedge(B,G)); % P1=[c^2, b^2, c^2]
P2=Wedge(Wedge(A,G),Wedge(C,S)); % P2=[a^2, b^2, b^2]
P3=Wedge(Wedge(B,S),Wedge(C,G)); % P3=[a^2, a^2, c^2]
R1=Wedge(Wedge(A,G),Wedge(B,S)); % P3=[a^2, c^2, c^2]
R2=Wedge(Wedge(A,S),Wedge(C,G)); % P3=[b^2, b^2, c^2]
R3=Wedge(Wedge(B,G),Wedge(C,S)); % P3=[a^2, b^2, a^2]

Q=Wedge(Wedge(P1,R1),Wedge(P2,R2))
% Q=[a^2*(b^2+c^2), b^2*(a^2+c^2), c^2*(a^2+b^2)]
% Q est bien sûr aussi sur (P3 Q3)

Bro1=[1/b^2; 1/c^2; 1/a^2];
Bro2=[1/c^2; 1/a^2; 1/b^2];

Nul1=CoCubiquesBary(A,B,C,P1,P2,P3,R1,R2,R3,Bro1)
Nul2=CoCubiquesBary(A,B,C,P1,P2,P3,R1,R2,R3,Bro2)
Nul3=CoCubiquesBary(A,B,C,P1,P2,P3,R1,R2,R3,Q)
% On trouve Nul1=Nul2=Nul3=0 donc les 12 points sont cocubiques

Cordialement,
Rescassol

Edit; $Q$ est le milieu $X_{39}$ des deux points de Brocart.

Rescassol

Bonjour;

La fonction CoCubiquesBary se contente de calculer un Veronese (determinant $10\times 10$):

function X = CoCubiquesBary(M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10)
    function N = P(M)
         u=M(1); v=M(2); w=M(3);
         N=[u^3 v^3 w^3 u^2*v v^2*w w^2*u u*v^2 v*w^2 w*u^2 u*v*w];
    end
       
         X=det([P(M1); P(M2); P(M3); P(M4); P(M5); P(M6); P(M7); P(M8); P(M9); P(M10)]);
end

Cordialement,

Rescassol

Rescassol

Bonjour,

Bon, il y quelque chose de dégénéré dans l'air, qui m'échappe.
Ceci donne toujours $0$:

syms u v w real
CoCubiquesBary(A,B,C,P1,P2,P3,R1,R2,R3,[u;v;w])

Cordialement,
Rescassol

Vassillia

C'est normal Rescassol, j'ai tenté de l'expliquer dans mon message précédent.

Il y a une infinité de cubique qui passe  $A$, $B$, $C$, $P_1$, $P_2$, $P_3$, $R_1$, $R_2$, $R_3$ donc quand tu te demandes si ces 9 points + un autre quelconque sont cocubique, la réponse est forcément oui. Par contre est-ce que cette cubique est la même lorsque l'autre point est un point de Brocard ou lorsque l'autre point est $Q$, c'est à démontrer.

On peut continuer comme j'avais commencé et trouver $t$ pour que $Q \simeq ((b^2 + c^2)a^2 :(a^2 + c^2)b^2 : (a^2 + b^2)c^2)$ appartienne à une des cubiques passant par les 9 points. On trouve sans surprise $t=1$ ce qui est donc la même condition que pour les points de Brocard.

Pour faire comme tu le proposes Rescassol, il faut que les 9 points initiaux ne définissent qu'une seule cubique donc qu'ils soient en position générale (ni 3 points alignés ni 6 points coconiques).

Rescassol

Bonjour,

$P_2$ et $R_1$ par exemple sont sur $(AG)$ donc $A,P_2,R_1$ sont alignés.
C'est donc foutu pour avoir une seule conique.

Cordialement,
Rescassol

Vassillia

Eh oui, à moins que tu rajoutes les points de Brocard et $Q$ et que tu supprimes $A$,$B$ et $C$, je n'ai pas vérifié si ils sont en position générale mais c'est notre dernier espoir pour la force brute.

Il suffirait ensuite de vérifier que $A$, $B$ et $C$ appartiennent à la cubique.

Rescassol

Bonsoir,

Ça ne marche pas non plus parce que $Q$ est le milieu des deux points de Brocard.
Il faudrait un autre point que $Q$.

Cordialement,
Rescassol

Vassillia

Bien vu ! Toujours pas de position générale, donc il n'y a rien à faire, tant pis, exploitons l'alignement alors pour écrire facilement les équations de 2 cubiques dégénérées et donc du faisceau de cubique passant par les 9 points. C'est ce que j'ai fait.

Rescassol

Bonsoir,

Oui, tu as raison. on obtient donc $f(x,y,z)=0$ avec:

$f(x,y,z)=a^2b^2c^2(x-y)(x-z)(y-z) + (b^2x-a^2y)(c^2x-a^2z)(c^2y-b^2z)$

ou encore:

$f(x,y,z)=b^2c^2(c^2+a^2)x^2y + c^2a^2(a^2+b^2)y^2z + a^2b^2(b^2+c^2)z^2x$

$- c^2a^2(b^2+c^2)xy^2 - a^2b^2(c^2+a^2)yz^2 - b^2c^2(a^2+b^2)zx^2$

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonsoir,

Les sommets du triangle cévien de $Q$ sont aussi sur la cubique.

Cordialement,
Rescassol

RHOM

salut à tous

Merci à Rescassol et Vassillia pour leurs contributions

on peut prendre les points $G,S$ deux points quelconques  (hors   des droites supportant les cotés) et $B_r= AP_3\cap BR_2,B'_r=AR_3\cap BP_2$ comme deux pseudo- brocard points alors les 12 points sont concubiques.

Cordialement

RH HAS

RHOM

Cette configuration est un cas particulier de cette situation voir lien