Suite numérique

Kcg

Bonjour à tous.

S'il vous plaît, je bute sur cet exercice. Particulièrement sur le sens direct de la question 1). Je ne vois pas comment faire. Néanmoins j'ai vu comme indication dans un document qu'on peut faire une preuve par récurrence sur p, en utilisant $\lambda_{p+1}u_n-u_{n+1}$. Mais je ne vois pas comment écrire cela.

S'il vous plaît, quelqu'un aurait une idée ? Merci d'avance 

JLT

Si tu veux suivre l'indication, essaye déjà de traiter le cas $p=2$ pour comprendre l'idée.
Sinon, le plus efficace est de considérer les suites de vecteurs $X_n=\begin{pmatrix} \lambda_1^n\\ \vdots \\ \lambda_p^n\end{pmatrix}$ et $Y_n=\begin{pmatrix} u_n\\ \vdots \\ u_{n+p-1}\end{pmatrix}$, trouver une matrice $M$ (indépendante de $n$) telle que $Y_n=MX_n$ pour tout $n$, montrer qu'elle est inversible et en déduire que $X_n$ tend vers $0$ si et seulement si $Y_n$ tend vers $0$.

Kcg

Bonjour @JLT, merci pour ton indication, mais j'ai justement essayé de voir ce qui se passe à l'ordre 2 avec l'indication, mais je bloque.

JLT

Supposons $u_n=\alpha_1 \lambda_1^n+\alpha_2\lambda_2^n$.

Qu'est-ce que tu trouves pour $\lambda_2 u_n-u_{n+1}$ ? Sachant que ça tend vers $0$ qu'est-ce que tu en déduis ?

JLapin

Une proposition à peu près équivalente à celle de JLT qui introduit une matrice.

On prend $P$ un polynôme quelconque. Alors $\displaystyle \sum_{k=1}^p \alpha_k \lambda_k^n P(\lambda_k)$ converge vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Ensuite, on choisit pour $P$ un polynôme de Lagrange adapté.

MrJ

L’intérêt de l’indication mentionnée dans le message initial est qu’elle permet de résoudre l’exercice avec très peu de connaissances. Si tu connais le déterminant de Vandermonde ou quelques propriétés sur l’interpolation polynomiale, les indications de JLT et JLapin sont plus intéressantes d’un point de vue mathématique.

JLapin

Notons que la construction explicite d'une fonction polynomiale qui vaut $1$ en un scalaire prescrit et $0$ en $p-1$ autres scalaires distincts est à la portée (théorique) de n'importe quel lycéen un minimum débrouillard, contrairement à l'inversibilité d'une matrice de Vandermonde qui nécessite déjà de savoir ce qu'est une matrice inversible ainsi que telle ou telle caractérisation

Kcg

Bonsoir à tous. Je m'excuse pour avoir posé une préoccupation et de m'être ensuite absenté pour des raisons indépendantes de ma volonté.

Déjà, @JLT,  j'ai finalement vu, grâce à ton écriture ce qu'il fallait faire. En fait, le p+1-ième terme de la suite $\lambda_{p+1}u_n-u_{n+1}$ va s'annuler, ce qui me donnera une suite ayant p-terme distincts et qui converge vers 0. Avec l'hypothèse de récurrence on conclut.

@JLapin, en effet l'interpolation est plus simple. Merci pour cette deuxième méthode.