Théorème de Pappus projectif et affine

Julia Paule

Dans le même cours : http://mp09.free.fr/TIPE/audin-geometrie.pdf, en P185, à propos du théorème de Pappus projectif, on se place dans le plan projectif, et on dit "on étudie le problème dans le plan affine obtenu en retirant la droite $\alpha \gamma$ (considérée comme droite à l'infini), au plan projectif." Pas de problème.

Je me demande si on peut utiliser ce théorème projectif pour en faire un théorème généralisant le théorème de Pappus affine (P28) avec les droites de l'hypothèse deux à deux sécantes (au lieu d'être parallèles), car cela parait vrai au vu de la figure.

J'essaie donc. On commence par se placer dans le plan affine $P$ contenant les points $A,B,C,A',B',C'$ avec les mêmes hypothèses, et on le complète d'abord vectoriellement en utilisant un point (une droite vectorielle), on obtient un espace vectoriel de dimension $3$, et on prend le plan projectif associé. On démontre le théorème dans le plan projectif en envoyant la droite $(\alpha \gamma)$ à l'infini. Donc les droites de l'hypothèse deviennent parallèles dans le complémentaire affine, et les points projectifs $\alpha, \beta, \gamma$ sont alignés.

Retour au plan affine. Il faut mettre la droite de l'infini ailleurs (sinon les points $\alpha, \beta, \gamma$ disparaissent de la figure et les droites de l'hypothèse deviennent parallèles). Alors dans le complété affine de cette droite à l'infini (par projection sur un plan affine parallèle au plan vectoriel correspondant à la droite de l'infini), les points de la figure d'origine $A,B,C,A',B',C', \alpha, \beta, \gamma$ ont disparu eux aussi (car on n'est plus dans le même plan affine). Mais la configuration reste vraie dans ce nouveau plan affine.

Bref cela ne marche pas (ou bien en induisant une bijection entre les deux plans affines).

Auriez-vous une idée ?

Merci d'avance.

gai requin

Tout théorème de géométrie projective (ici Pappus) a plusieurs traductions affines selon le choix de l'hyperplan à l'infini.
Mais en réalité, n'est-on pas en train de causer d'homographies entre un espace projectif et un espace affine complété projectivement ?

Par exemple :

pappus

Bonjour à tous

Quel est le théorème dual du théorème de Pappus?

Amicalement

pappus

Rescassol

Bonjour,

D'après Wikipédia:
Configuration de « Copappus », ou Pappus-dual :
Soient deux triplets de droites concourantes A,B,C et A',B',C'.
Soient P=(B∩C',C∩B'), Q=(C∩A',A∩C') R=(A∩B',B∩A').
Le théorème de « Copappus » affirme que P,Q,R sont concourantes.

Cordialement,
Rescassol

pappus

Merci Rescassol pour tes bons voeux.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/PappusSelfDual.html

Voir aussi le célèbre livre d'Hilbert & Cohn-Vossen: Geometry and the Imagination

Amitiés

pappus

Julia Paule

Merci @pappus. Je vais regarder.

@gai requin, il faut envoyer les points de la figure sur le même plan affine  un autre (car la restriction de l'homographie au plan affine est une application affine, qui envoie 2 droites parallèles sur 2 droites parallèles, sinon pas la peine d'aller sur un espace projectif) où les droites affines images seront parallèles (via une homographie), constater que les points images sont alignés, et renvoyer tous les points sur le plan affine de départ (via l'homographie réciproque). Une homographie du plan projectif étant déterminée par l'image de $4$ points projectivement indépendants (dans le cas général on peut prendre $A, B, A', B'$), cela me parait assez compliqué, mais devrait marcher.

gai requin

@pappus : Une perspective dans le dual pour tracer une droite $(AB)$ avec une règle trop courte

stfj

Le théorème de Pappus est simplement un cas particulier du théorème de Pascal pour les coniques. Deux droites sécantes sont une conique dégénérée. Démontrer le théorème de Pascal est simple avec les bons outils ( veronese ).