Localisation des racines

Calembour

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme de degré au moins égal à $2$ tel que ses racines $z_1, z_2, ..., z_n$ sont toutes localisées dans le disque unité : $|z_i| \le 1$ pour $1 \le i \le n$.

Pour toute racine $z_i$ de $P$, il existe alors une racine $\zeta_i$ de $P'$ telle que $|z_i - \zeta_i| \le 1$ pour $1 \le i \le n$.

J'ai lu cette proposition dans un livre d'algèbre anglophone sans démonstration.

Si $P$ est un polynôme unitaire de degré $2$ de racines $z_1$ et $z_2$, le polynôme dérivé a pour unique racine $\zeta = \frac{z_1 + z_2}{2}$. Donc là on comprend bien que ça va marcher par inégalité triangulaire.

Je n'ai pas regardé le cas pour le degré $3$, mais j'imagine que ça commence à devenir plus compliqué, car l'expression des racines du polynôme dérivé en fonction des racines du polynôme d'origine est plus complexe mais je pense que c'est faisable

Gauss-Lucas n'a pas l'air de trop aider ici non plus à part nous dire que les racines de $P'$ sont également dans le disque unité

Math Coss

Si, Gauss-Lucas !

Soit $\zeta$ un point du disque unité à distance $>1$ des $z_i$. D'évidence $\zeta\ne0$. Quitte à remplacer $\zeta$ par $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\zeta=|\zeta|$ et $P(z)$ par $P(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}z)$ pour $\theta=\arg\zeta$, on suppose que $\zeta$ est réel et strictement positif. Si les $z_i$ sont à distance $\ge1$ de $\zeta$ tout en étant dans le cercle unité, leur partie réelle est au plus $\mathrm{Re}(\zeta)/2$. C'est donc aussi le cas de tout barycentre à coefficients positifs. En particulier, $\zeta$ n'est pas une racine de $P'$.

De façon plus intrinsèque, si $|z_i-\zeta|\ge1$, alors les $z_i$ sont dans un demi-plan de frontière $\Delta$, la médiatrice de $[0\zeta]$, et $\zeta$ est dans l'autre, si bien que les racines de $P'$ aussi.

Calembour

Coucou @Math Coss

Je n'ai pas très bien compris ton raisonnement. Ne devrait-on pas supposer plutôt au début (si on veut raisonner par l'absurde), l'existence  d'une racine $z$ de $P$ telle que pour toute racine $\zeta$ de $P'$, on ait $|z - \zeta| > 1$ ?

Math Coss

Ah pardon, j'ai lu trop vite et j'ai quantifié à l'envers. 

JLapin

Si j'ai bien lu, il s'agit d'une conjecture (Ilieff Sendov).

https://prepas.org/index.php?module=Sujets&voir=get&file=doc-cfd015b968aadd7365a2

i.zitoussi

Le cas limite arrive (ou semble arriver, puisque la conjecture n'est pas prouvée), lorsque les racines de $P$ sont équidistribuées sur le cercle unité. Dès qu'on perturbe un tant soit peu les racines de $P=X^n-1$, le nombre $\underset{z,z'}{\max}|z-z'|$ (où le max est pris sur $z\in P^{-1}(0)$ et $z'\in P'^{-1}(0)$) diminue très vite.

Deux gifs ($P$ en vert, $P'$ en rose) :
Dans le premier, au tout début, $P=X^{30}-1$. Puis les racines sont bougées (à la souris...) et les racines de $P'$ changent très rapidement de configuration.

Deuxième gif (zoom sur ce qui se passe quant on perturbe $X^n-1$) : Au tout début, $P=X^{10}-1$. Le point correspondant à la racine $z=1$ parcourt un cercle de centre $1-\varepsilon$ et de rayon $\varepsilon$, avec $\varepsilon=10^{-7}$. C'est très petit, donc on ne voit pas ce point bouger. Mais les racines de $P'$ (avec trace) s'écartent aussitôt. Avec plus d'images on verrait une sorte de fleur, dont les pétales se raccordent en $z=0$.

J'ai dû réduire le nombre d'images (60) pour que ça passe. C'est un peu sacccadé.

Ça fait un peu penser à la conjecture de Goldbach : la conjecture a l'air largement vraie, à part dans des cas limites, mais on n'arrive pas à le prouver.

JLapin

Tao a un peu avancé sur la conjecture il y a quelques années.

https://arxiv.org/pdf/2012.04125

Calembour

Merci pour vos contributions !

Effectivement la question n'a pas l'air résolue, au temps pour moi