Somme des puissances 4e des côtés

lesmathspointclaires

Deux triangles ayant même aire et même somme des carrés des côtés ont même somme des puissances quatrième des côtés.

Toutes les preuves sont bienvenues (en particulier une "rapide" qui ne mobilise que des identités remarquables, déterminants et produits scalaires)

Rescassol

Bonjour,

$16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)$

$2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2-16S^2$

Cordialement,
Rescassol

lesmathspointclaires

@Rescassol bien joué^^ merci!! (la première ligne est la formule de Héron !)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Héron

lesmathspointclaires

Quelqu'un connait-il une preuve de la formule de Héron qui ne passe pas* par $SO_2$ et les similitudes de triangles ?
Je cherche à savoir ce qui est nécessaire, en particulier si on peut prouver ça avec des identités remarquables, déterminants, calcul de matrices, avec droit d'utiliser la transposée (démo de type C (C pour calcul, c'est mal choisi désolé)  ? (ça ne voudra pas dire que ça ne "passe pas" par $SO_2$ et les similitudes, quoi qu'on devra je pense avoir une constante multiplicative près quelque part, si on reste en dim 2, ça sera probablement un exemple de démonstrations où on ne "passe pas" par "triangle semblable" et "cercle" - dans le lien Wikipédia  J'ai vu que la formule est un det de matrice 4x4... ça serait intéressant qu'on ne puisse faire une démo de type C qu'en étant en dim 4!)

*Peut-être qu'un logicien peut m'aider à formaliser cette idée de "passer par" et de démo de type C , je donnerai plus d'explications sur ce que je veux dire en fonction d'éventuelles interventions

gerard0

Bonjour.

la démonstration classique par trigonométrie (voir Wikipédia, démonstration à l'aide de la loi des cosinus) n'utilise pas $SO_2$ et je n'y ai pas vu de similitude.

Cordialement.

Soc

lesmathspointclaires a dit :

*Peut-être qu'un logicien peut m'aider à formaliser cette idée de "passer par" ceci

Un truc du style: "Peut-on trouver un chemin allant des axiomes au résultat voulu sans avoir démontré ceci au passage?"

depasse

Bonjour,
une mauvaise preuve car elle présuppose que la formule qui donne $S$ en fonction de $(a,b,c)$ est la plus "simple" possible. Tout de même:
$S$ est symétrique en $a,b,c$, donc en $a',b',c'$ où $a':=-a+b+c$ et circ. 
$S$ s'annule quand $a',b',$ ou $c'$ s'annule. Le plus simple, c'est $S=a'b'c'$. Mais ça coince pour des questions de dimension: $2$ contre $3$.
Le plus simple ensuite, c'est $S^2=a'b'c'f(a',b',c')$ avec $f(a',b',c')$ de degré $1$ et symétrique. Le plus simple c'est 
$f(a',b',c')=a'+b'+c'$.
$S^2(a,b,c)=a'b'c'(a'+b'+c')$ est bien, et pour la symétrie et pour la dimension.
Reste la constante multiplicative. On regarde l'équilatéral et on trouve:
$16 S^2=a'b'c'(a'+b'+c')$
Cordialement
Paul

Chaurien

À une époque où la « modernité » voyait d'un mauvais œil les formules dans le triangle, j'avais bricolé une démonstration de la formule de Héron comme corollaire du théorème de Pythagore. Je la joins ci-après. Elle utilise la mesure algébrique, qui évite les « cas-de-figure », ici les cas selon la position du point $K$ par rapport aux points $B$ et $C$. Cela ne semblait pas si compliqué qu'on ne puisse l'enseigner en Quatrième. Il est vrai que c'était avant l'invention du collège unique...

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Vassillia

Bonjour, une référence de ce papier est avril 1976 donc on peut penser que le bricolage en question est venu après

La loi Habby du collège unique est juillet 1975

On apprenait que 1976 est avant 1975 lorsque le collège unique n'était pas inventé ? Mince alors, c'est vrai que c'est dommage d'avoir perdu cette connaissance (ou pas).

Chaurien

Bien remarqué, @Vassillia, je n'avais pas fait attention. Le collège unique a mis un certain temps pour produire ses effets néfastes. En 1976, les élèves de l'enseignement secondaire étaient encore supposés capables de connaître la mesure algébrique. Peut-être les collègues professeurs du secondaire pourront-ils nous dire la date de sa disparition. 

Bonne soirée.

Vassillia

Effets ? Indiscutablement mais néfastes, ce n'est que ton opinion.

De mémoire, j'avais vu la formule du Héron en première, démonstration avec la formule d'Al Kashi et cela ne m'avait pas paru si compliqué non plus. Je viens de vérifier, la formule d'Al Kashi est toujours au programme de première donc encore possible de le faire de nos jours au sein d'un exercice guidé.

lesmathspointclaires

@Chaurien merci!!
Mon problème initial principal est donc résolu par ta preuve en la substituant à la formule de Héron dans la preuve de Rescassol de l'énoncé initial. Merci à tous les deux! Les autres preuves sont quand même toujours les bienvenues^^ En vue de positionner les différents concepts associés.
@depasse remarque très intéressante ! (j'ai l'impression que les physiciens utilisent souvent ce type d'arguments, non?)

lesmathspointclaires

  

lesmathspointclaires a dit :

*Peut-être qu'un logicien peut m'aider à formaliser cette idée de "passer par" ceci

Un truc du style: "Peut-on trouver un chemin allant des axiomes au résultat voulu sans avoir démontré ceci au passage?"

Oui... en identifiant "ceci" à tout énoncé qui s'en déduit et dont peu le déduire, enfin quelque chose comme ça..je ne sais pas trop, je n'ose pas m'avancer dans ce domaine où je ne connais pas grand-chose, mais peut-être que ma prudence est excessive dans cet exemple précis. Ce qui est certain, c'est que le "ceci" que j'ai donné est trop vague et doit-être précisé.
Peut-être aussi qu'on peut trouver des choses moins "syntaxiques", peut-être en rapport avec les "degrés ludiques" de Chalons

@christophe c : dans les parages ?  😁🤣🤣🤣

plsryef

je ne sais pas de quoi tu parles, @lesmathspointclaires , un raisonnement qui est tributaire d"'une syntaxe n'est pas un raisonnement, ensuite, on peut prendre des raccourcis en se basant sur une syntaxe, ou des raccourcis, si on regarde effectivement ce qu'est le raisonnement en question, il est juste, ou il est faux, le tiers exclu est un implicite du langage courant, ou alors il y aurait une façon d'appréhender le langage, qui admette deux notions contradictoires, est-ce possible, est-ce impossible, la logique nous le dira à un moment. (bon j'avoue je vis dans le monde des idées de temps en temps, idéaliste sans doute, naïf surement, et qui saurait me blâmer, des tas de gens j'imagine, mais bon on ne va pas emmerder le chat de Schrödinger, il est mort ou il est vivant, cela ne serait-t'il pas le cas, pourquoi s'embêter avec ça... cela remettrait trop de chose en doute).

lesmathspointclaires

@plsryef je n'ai rien compris du tout^^ (dès la première phrase, je n'ai pas compris le "je ne sais pas de quoi tu parles", c'est peut-être ça qui m'empêche de comprendre le reste, tu fais référence à quoi précisément ?)

plsryef

franchement je ne sais pas mais en attendant on vit dans un monde où l'option qui consiste à péter plus haut que son cul, est devenue la plus démocratique des activités. (si ça se trouve j'en suis un exemple) et quel serait mon background  pour m'autoriser à avancer un argument d'autorité, voyons... (néanmoins ceux qui auront compris mieux que d'autres,, n'hésiteront pas, et ceux qui seront passé à côté feront pareil, pourquoi s'emmerder ?) je te rassure me démolir avec des arguments logiques ça ne sera pas compliqué,et dans ce cadre je t'en prie donne t'en à cœur joie: ça va le faire. (que tu me comprennes ou pas , on s'en moque je n'ai fait qu'utiliser la structure sujet +verbe+ complément, et ceci et à la portée des dyscalculiques qui n'ont pas d'autres troubles dys).

lesmathspointclaires

Bah si tu sais pas boucle là. Te démolir ? pour quoi faire, encore faudrait-il qu'il y ait quelque chose à démolir

Ericpasloggue

Une remarque en passant : la loi Habi est votée en 1975. Ça ne veut pas dire qu'elle entre en action le mois suivant. Il fut une époque où l'on réfléchissait un temps soit peut à la mise en application (ce qui ne veut pas dire que l'on obtenait une réussite à tous les coups). Concernant cette loi, j'ai cru comprendre que la mise en application est la rentrée de 1977.

Une autre remarque : al-Kashi (aka la loi du cosinus) utilise la trigonométrie. Au collège et au lycée, les fonctions trigonométriques sont définies à coup de triangles semblables (même si ce n'est que très rarement fait par les enseignants des collèges et lycées). Ce n'est que quelques années plus tard (après le lycée) que l'on voit les fonctions trigonométriques comme sommes de séries entières.