Repère projectif - cours

Julia Paule

Bonjour. Dans ce cours http://mp09.free.fr/TIPE/audin-geometrie.pdf, une définition d'un repère projectif est donnée en P192. La remarque qui suit la définition me parait fausse :

"Un repère projectif (d'un espace projectif de dimension $n$) est ainsi une famille de $n+2$ points tels qu'aucun d'eux ne soit dans le sous-espace projectif déterminé par les $n+1$ autres."

J'ai beau relire, il me semble que le point $m_0$ droite vectorielle dirigée par le vecteur $e_1+ \cdots + e_{n+1}$ est dans le sous-espace projectif engendré par $m_1, \cdots, m_{n+1}$, images des vecteurs $e_1, \cdots, e_{n+1}$ formant une base, qui n'est autre que $\mathbb P(E)$ lui-même. Donc cette situation n'a aucune chance de se produire.

A l'aide !

Merci d'avance.

lesmathspointclaires

Je pense que la phrase dont tu parles est très maladroite, et peut-être "fausse" (il ne devrait pas dire "le" sous espace projectif déterminé par les $n+1$ autres, mais je peux me tromper, il est tôt) mais son contraire "a une chance de se produire" : par exemple dans le cas du plan projectif où il faut 4 points sans aucun alignement non trivial) si les quatre droites vectorielles sont dans un même plan (i.e si les 4 points du plan projectifs sont alignés i.e. sur une même droite du plan projectif)

Le problème de "la phrase" c'est si trois points sont alignés, mais pas 4, dans ce cas, on a pas un repère projectif de dimension $2$ (à moins qu'on ait pas la même définition...) et pourtant aucun point n'est dans "le" sous-espace projectif engendré par les 3 autres : si c'est le point qui n'est pas aligné, alors, il ne l'est pas, et si c'est un des trois alignés, il n'est pas dans "le" sous-espace engendré    [déterminé] par les trois autres, car il n'est pas bien défini, il me semble.

[EDIT : j'ai restitué le terme exact de l'auteur, ça ne change pas le fond de ma remarque, en tout état de cause, "déterminé" demande plus de précision je pense, je vais examiner le texte plus en détail, il est possible que je quelque chose m'ait échappé. Autre chose, justement le terme "engendré" est à manipuler avec des pincettes, et si deux points du plan projectifs "engendrent une droite", alors 3 point "engendrent" le plan entier, je te rejoins là-dessus, mais il a dit "déterminé" et il faut voir ce que ça veut dire, en tout cas je comprends  ta gène, il faudrait voir ce qu'en disent ceux qui sont plus calés que nous^^]

Julia Paule

L'auteur parle en P181 du sous-espace projectif engendré par une partie de $\mathbb P(E)$ : cela est clair, c'est le plus petit sous-espace projectif contenant cette partie. Mais je ne vois pas ce que "déterminé par" peut signifier d'autre que "engendré par".

Comme définition, il me semble que la condition pour qu'une famille de $n+2$ points soit un repère projectif d'un espace projectif de dimension $n$, c'est que $n+1$ droites vectorielles sous-jacentes à $n+1$ points projectifs pris parmi ces $n+2$, soient dirigées par $n+1$ vecteurs formant une famille libre, non ? Le point supplémentaire dépendant forcément des autres ne sert qu'à identifier la base à un coefficient multiplicatif près unique pour tous les vecteurs de la base (c'est ce qui est dit dans le lemme VI.5.5.)

Merci d'avance.

lesmathspointclaires

Si déterminé veut dire engendré, qui est décrit p181 (par exemple deux points du pp engendrent une droite) alors effectivement, je pense que c'est une coquille. Je lirai mieux plus tard ce qu'est $p$, je dois dormir un peu, car je dois travailler vers 16h tout à l'heure. Peut-être que d'autres pourront confirmer que c'est bien une erreur au cas où la fatigue joue des tours...

gai requin

Il me semble que si $E$ est un ev de dimension $n+1$, alors $\mathcal R=(A_0,\ldots,A_{n+1})$ est un repère projectif de $\mathbb P(E)$ ssi toute famille de $n+1$ éléments de $\mathcal R$ engendre $\mathbb P(E)$.

lesmathspointclaires

@gai requin, ce qui donne raison à JP sur le fait qu' il y a une coquille, on est d'accord ?

gai requin

Oui, et que devient $A_{n+1}$ dans la carte affine $\{X_0+\cdots+X_n=1\}$ ?

Julia Paule

Merci @lesmathspointclaires et @gai requin . On peut prendre cette 2ème définition, car dans un espace vectoriel de dimension $n+1$, une famille de $n+1$ vecteurs est libre ssi elle est génératrice de l'espace.

J'ai une autre question, je vais la poser dans un autre fil.

Foys

C'est bien de faire ce genre de choses soi-même crayon en main. Un exemple: https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2503844/#Comment_2503844

RHOM

Julia Paule a dit :

Bonjour. Dans ce cours http://mp09.free.fr/TIPE/audin-geometrie.pdf, une définition d'un repère projectif est donnée en P192. La remarque qui suit la définition me parait fausse :

"Un repère projectif (d'un espace projectif de dimension $n$) est ainsi une famille de $n+2$ points tels qu'aucun d'eux ne soit dans le sous-espace projectif déterminé par les $n+1$ autres."

J'ai beau relire, il me semble que le point $m_0$ droite vectorielle dirigée par le vecteur $e_1+ \cdots + e_{n+1}$ est dans le sous-espace projectif engendré par $m_1, \cdots, m_{n+1}$, images des vecteurs $e_1, \cdots, e_{n+1}$ formant une base, qui n'est autre que $\mathbb P(E)$ lui-même. Donc cette situation n'a aucune chance de se produire.

A l'aide !

Merci d'avance.

un espace projective de dim $=n $ est associé à un espace vectoriel de dim$=n+1$ donc on a  besoin de $n+2$ points pour former un repère

pappus

Bonjour à tous

Quel est le repère projectif utilisé quand on travaille en coordonnées barycentriques homogènes ou en coordonnées cartésiennes?

Amicalement

pappus

lesmathspointclaires

Là il s'agit de confirmer que PJ a vu juste pas de dire des banalités sur les ep

Julia Paule

Oui, et je ne vois pas comment simplifier facilement la phrase pour la rendre juste.

@pappus Tu soulèves une question que je me suis posée et sur laquelle je reviendrai : en coordonnées barycentriques comme en coordonnées projectives, on travaille sur des coordonnées homogènes, mais je n'ai pas encore réfléchi au lien entre les deux, s'il y a un lien.

gai requin

Welcome back @pappus !

J'ai posé cette question ici !

lesmathspointclaires

lesmathspointclaires a dit :

Là il s'agit de confirmer que PJ a vu juste pas de dire des banalités sur les ep

Désolé pour cette remarque injustifiée, je rentrais d'une soirée un peu trop arrosée...

Foys

"En état d'ébriété, tes comptes sur les réseaux sociaux tu t'abstiendras d'utiliser et tes parties d'échecs par correspondance, tu délaisseras scrupuleusement".

(Situations vécues).

lesmathspointclaires

Julia Paule a dit :

Oui, et je ne vois pas comment simplifier facilement la phrase pour la rendre juste.

@pappus Tu soulèves une question que je me suis posée et sur laquelle je reviendrai : en coordonnées barycentriques comme en coordonnées projectives, on travaille sur des coordonnées homogènes, mais je n'ai pas encore réfléchi au lien entre les deux, s'il y a un lien.

Je crois que le lien c'est l'égalité sur la carte affine canoniquement associée au repère.

@Foys hahaha j'ai aussi trahi le second commandement!! (pseudo : pionti sur Lichess.org^^, si tu veux pousser du e-bois😅😅)