Caractérisation des triangles ayant la même Ellipse de Steiner (1)

lesmathspointclaires

Deux triangles ont la même ellipse de Steiner (ellipse tangente à chaque coté en son milieu)  si et seulement si ils ont même centre de gravité, même aire, et même somme des carrés des côtés (à rotation près autour du centre).

Je ne trouve rien sur internet à ce sujet. Vous savez si c'est connu ? Vous avez une preuve "rapide" ? (la mienne fait plus d'une page)

Vassillia

Bonjour, j'ai une autre caractérisation, vraisemblablement aussi connue, même si je ne la connaissais évidemment pas. On part d'un triangle $ABC$ qui servira de repère barycentrique, son ellipse de Steiner inscrite est alors $\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$.

On fait nos petits calculs et on constate que les autres triangles doivent être de la forme $A_t \simeq \left(t:\,-t + 1:\,{\left(t - 1\right)} t\right)$, $B_t \simeq \left({\left(t - 1\right)} t:\,t:\,-t + 1\right)$ et $C_t \simeq \left(-t + 1:\,{\left(t - 1\right)} t:\,t\right)$. Les voilà donc sur la conique $\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$ qui est l'ellipse de Steiner circonscrite voir https://www.geogebra.org/classic/pegcnnh8

On peut ensuite vérifier pour le barycentre, l'aire et la somme des carrés des cotés.

Rescassol

Bonjour,

Une illustation, où on peut bouger le point $T$ dans le fichier Géogébra (enlever l'extension txt)..

Cordialement,
Rescassol

Edit: Je n'avais pas vu la modification de Vassillia, tant pis ....

Vassillia

Pas grave @Rescassol je me suis justement décidée à rajouter un geogebra où on peut bouger les points $A$, $B$ et $C$ librement et le point $A_t$ sur Steiner circonscrite, je trouve que c'est le plus pratique.

pappus

Bonsoir à tous

C'est la transformée affine de la famille des triangles équilatéraux inscrits dans un cercle!

Amicalement 

pappus

Rescassol

Bonjour Pappus, et heureux de ton retour parmi nous.

Oui, je me doutais de quelque chose de ce genre.

Cordialement,
Rescassol

lesmathspointclaires

@Vassillia bien joué ! Je rebondirai sur cette jolie caractérisation quand j'aurai réglé deux trois trucs, je me suis bien bien cassé un doigt la nuit dernière, d'où ma réponse tardive, merci à tous et à très vite!

lesmathspointclaires

Remarque : si $t=cos^2(\theta)$ la caractérisation de @Vassillia donne $A_t=(2cos^2\theta : 2sin^2\theta : sin^22\theta)$