Une relation pour le weekend

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. ABC un triangle tel que AC < AB

2. M le milieu de [BC]

3. P le point d’intersection de la A-bissectrice extérieure de ABC avec (BC)

4. K le pied de la perpendiculaire à (AP) issues resp.de M

5. F le point d’intersection de la perpendiculaire à (BC) issue de M avec (AP).

Question :    BC² = 4.AK.PF.

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

%  Jean-Louis Ayme - 18 Octobre 2024 - Une relation pour le weekend

clear all, clc

syms a b c real

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

M=[0; 1; 1]; % Milieu M de [BC]
Biss=[0, c, b]; % A-bissectrice extérieure
P=Wedge(BC,Biss); % P=[0; -b; c]
K=ProjectionOrthogonaleBary(M,Biss,a,b,c); 
% K=[(b+c)^2; -b*(b-c); c*(b-c)]
F=Wedge(MediatriceBary(B,C,a,b,c),Biss); 
% F=[-a^2*(b+c); b*(b^2-c^2); -c*(b^2-c^2)]

AK2=Factor(Distance2(A,K,a,b,c)); % AK^2
% AK2=(b-c)^2*(a+b-c)*(a-b+c)/(16*b*c)
PF2=Factor(Distance2(P,F,a,b,c)); % PF^2
% PF2=a^4*b*c/((b-c)^2*(a+b-c)*(a-b+c))

X=Factor(AK2*PF2); % On trouve X=a^4/16 et c'est gagné
% On a bien AK*PF=4*BC

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

Bonsoir Jean-Louis, Rescassol,

Voici la figure

Bien amicalement, Jean-Louis B.

RHOM

Salut à tous 

Soit $D$ le pied de la bissectrice interne

on a $(B,C,D,P)=-1$ implique $\frac14BC^2=MD.MP$

en plus $PFM\sim PMK$; il résulte $PM^2=PK.PF$

encore $PMK$ et $PDA$ sont homothétiques; il vient $\frac{AK}{DM}=\frac{PK}{PM}$

ainsi $AK.PF=\frac{AK}{DM}.PF.DM=\frac{PK}{PM}.PF.DM=\frac{PM^2}{PM}.DM=PM.DM=\frac{BC}4$.

cordialement

RH HAS