Coloration et probabilités avec des techniques de comptage

Gabriel_04

Bonsoir à tous. J’ai le problème suivant que j’aimerais savoir comment résoudre. 

 Il y a une sphère dont 10 % de la surface est coloriée en noir, l’autre partie restant blanche. Montrer que, quel que soit le domaine colorié, on peut toujours inscrire un cube dans cette sphère de telle manière que tous les sommets du cube seront blancs.
(Indication : Qu’est-ce qu’on peut dire à propos de la probabilité d’avoir au moins un sommet noir si le cube est inscrit dans la sphère de manière aléatoire?)

Pourrions-nous commencer par un cas plus simple tel qu’un cercle et un carré ? Seulement si cela pouvait aider l’intuition ? 

Merci d’avance ! 

depasse

Bonjour
Cas du cercle et du carré: suppose que ta zone noire a une longueur strictement inférieure à $1/4$ de la circonférence. Pourras-tu toujours inscrire un carré aux sommets blancs?
Cordialement
Paul

Gabriel_04

depasse a dit :

Bonjour
Cas du cercle et du carré: suppose que ta zone noire a une longueur strictement inférieure à $1/4$ de la circonférence. Pourras-tu toujours inscrire un carré aux sommets blancs?
Cordialement
Paul

Oui, puisque la partie blanche s'étend sur plus de 

270 degrés, ce qui est exactement suffisant pour « ajuster » les quatre sommets du carré sans chevaucher la partie noire.

lourrran

C'est trop rapide comme explication, et donc c'est trop tôt pour revenir à la question initiale avec la sphère.
On n'a pas dit que la partie colorée en noire était convexe, il peut y avoir plein de petits arcs de cercle noirs intercalés avec des arcs de cercle blancs.
Peux tu détailler plus ton explication.

depasse

C'est vrai, mais comment le montres-tu? et
qu'en déduis-tu pour le cas de la sphère et du cube?

Soc

Je serais tenté de mettre de la peinture noire sur les sommets du carré qui bouge.

depasse

@Soc
Succombe à la tentation

Soc

Je laisse @Gabriel_04 mettre la première couche de peinture!