Construction du cours sur les nombres décimaux

lesmathspointclaires

zeste a dit :

lesmathspointclaires a dit :

Un nombre $a$ est rationnel s'il existe un nombre entier $n$ tel que $a\times n$ est entier.

@lesmathspointclaires un nombre entier $n$ non nul, et cette définition me paraît excellente, précisément parce qu'elle ne nous fait pas tomber tout de suite dans le monde des fractions.

Je ne faisais que remplacer ce que tu as dit, de "décimal" par l'équivalent pour rationnel, encore plus simple alors que tu prétends le contraire.

lourrran

@biely, 
Sur la comparaison entre français et allemand, je pense que tu fais allusion par exemple à un document qui a été posté sur ce forum il y a 1 ou 2 mois .... je l'ai lu en détail.

Sur les nombres entre 11 et 19, c'est 'amusant' de constater qu'en anglais (ou en allemand), on a les nombres 11 et 12 qui sont bâtis avec une certaine logique, et les nombres 13 à 19 selon une autre logique, claire, la concaténation du chiffre des unités et d'un suffixe pour la dizaine qu'on ajoute.
Des restes de comptage en base 12 ??? bof, même pas évident, parce que 12 est clairement une déclinaison du nombre 2 (zwölf vs zwei).
Et en France, on a la même logique de nombres composés pour les nombres 17,18,19, et un mot simple pour les nombres de 11 à 16.
Un reste de comptage en base 16 ? Bof, vraiment pas, parce que les nombres 11, 12, 13, 14, 15 et 16 sont clairement des déclinaisons des nombres 1,2, 3, 4, 5 et 6.
Si quelqu'un a une explication historique, comment on est arrivé à ces mots treize, quatorze, quinze et seize, alors que nos voisins anglais on thir-teen, four-teen ... je suis preneur !

En espagnol, on a des mots spécifiques jusqu'à 15 (once, doce, trece, catorce, quince)
Et en italien, on a dici en suffixe pour les nombres de 11 à 16 (undici, dodici,tredici, quattordici, quindici, sedici), puis dici en préfixe à partir de 17 (diciassette, diciotto, diciannove).

jelobreuil

@lourrran Bonsoir,

il suffit de demander ... D'après le "Dictionnaire historique de la langue française" d'Alain Rey :   

"treize" vient du latin "tredecim", composé de "tres" (trois) et "decem" (dix), et de façon analogue, "quatorze" vient de "quattuordecim", "quinze" de "quindecim" et "seize" de "sedecim". Même chose pour "onze", de "undecim", et "douze", de "duodecim".

Quant à la numération anglaise, je lis dans le "Concise Oxford Dictionnary" : "-teen, an inflected form of ten, added to the numerals 3 to 9 to form the names of those from 13 to 19".

Bien amicalement, JLB

lourrran

Merci Jelobreuil ... mais il reste des chainons manquants.
En latin, on a : 

• 11 – undecim
• 12 – duodecim
• 13 – tredecim
• 14 – quattuordecim
• 15 – quindecim
• 16 – sedecim
• 17 – septendecim
• 18 – duodeviginti
• 19 – undeviginti

Donc une certaine règle pour les nombres de 11 à 17, et une autre pour les nombres 18 et 19. La logique pour 18 et 19 est d'ailleurs assez amusante. Et au passsage latin vers français du 21ème siècle, on a gardé certaines règles logiques, on en a changé d'autres ...

lesmathspointclaires

Vassillia a dit :

C'est un concept d'apprendre les 4 opérations avant d'apprendre à compter jusqu'à 100, pas bien sûre quand même mais si Foys le dit...

À partir du moment où ils comptent jusqu'à 100 (s'arrêter à 100 est d'ailleurs plus dur que de continuer^^), ils utilisent implicitement les quatre opérations, à moins qu'ils ne comptent que de manière formelle, en ordonnant lexicographiquement, mais ce n'est pas le cas, car ils relient ça à des cardinaux. Croire que cette remarque est anodine est justement ce qui fait qu'on se masque le problème, particulièrement quant à la façon dont il est perçu par des individus qui rencontrent la notion, et qu'on oublie la difficulté parce qu'on l'a trop intégrée. 
C'est pour ça que la solution de la base 2, plus simple, permet de donner du relief au concept sans être obligé d'en parler (1). Je ne vois pas ce que ça coûte, ça n'a que des avantages. Je reviens là-dessus, car je pense que ça résout le problème, en tout cas, c'est une solution simple et à l'efficacité assurée, sur court/moyen/long terme.

Ceux qui pensent que "c'est trop dur", ont juste oublié que la division euclidienne, c'est dur, si c'était si facile à trouver, les latins de l'Antiquité l'auraient adopté, au lieu de leur système de comptage éclaté !

(1) Ce qui relie l'ordre lexicographique à la division euclidienne ne peut être évoqué dans l'espoir de susciter une compréhension future que si on fournit un autre modèle, le simple fait que personne ne relève positivement cette solution prouve la persistance de ce biais !!

Exemple de (1) sur un autre sujet, la lecture : mon fils savait lire à 4 ans, je ne lui ai jamais mis aucun livre dans les mains, mais " jeul'  ouip'  arl'  aic'  ommç'  ad'  eut'  enz'  ent' en " pour rigoler surtout, mais je pense que c'est grâce au fait que j'ai matérialisé le rapport voyelle/consonne en changeant le modèle de diction!
La dernière fois je regardais un film chez la voisine et jeum eum éal irl' éss out itrk oms a .. et là je vous jure... le chat a senti qu'il se passait quelque chose (wtf)... je lui ai alors fait comprendre par des gestes (subtils, car sinon ils font semblant de pas comprendre) que je lisais les sous-titres eh bien je vous assure .... ouh ça me fait penser que je suis en retard pour sa dictée, je reviens !

biely

@lourrran
Effectivement j’ai le vague souvenir de ce document pour la comparaison entre le français et l’allemand (ma mémoire flanche et il est possible que ce soit moi-même qui l’ai posté). 
En parlant de l’origine des mots il est intéressant de voir par exemple celui du mot ’’neuf’’ sans doute lié à un système octal (lui-même lié aux deux mains sans les pouces).
’’Le décompte octal pourrait avoir été utilisé dans le passé à la place du décompte décimal en comptant soit les trous entre les doigts ou les doigts différents des pouces. Ceci expliquerait l'homonymie en français du mot « neuf» (qui signifie aussi « nouveau »), et pourquoi le latin pour  novem (« neuf ») est si proche du latin novus (« nouveau »). Il pourrait avoir le sens de nouveau nombre. Ce qui expliquerait aussi la racine semblable des mots arabes تسعٌ (« neuf ») et اتسع (« étendre »)’’
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Système_octal

lourrran

Tout à fait Biely, j'ai retrouvé la discussion et c'est toi qui avais posté le document auquel je pensais.

Intéressant, cette remarque sur le chiffre 9.
Donc on aurait eu les chiffres de 1 à 8 (I II III IV V VI VII VIII), le nombre IX qui n'avait pas de nom... et le nombre 10 (X).
On remarque que les nombres 18 et 19 se lisaient duodeviginti et undeviginti , donc on a dû les écrire pendant une période IIXX et IXX ou IIG et IG (je mets la lettre G, il devait y avoir une lettre pour symboliser le nombre 20).
Le nombre 9 se disait peut-être undedeci ou quelque chose comme ça.

jelobreuil

@biely Bonsoir,

L'étymologie de l'adjectif "neuf" et celle de l'adjectif numéral "neuf", bien que très proches, diffèrent l'une de l'autre, respectivement "novus" et novem", et leur proximité me semble être davantage le résultat d'un hasard linguistique propre au latin que celui d'une parenté de sens, même lointaine. Dans les autres langues anciennes indo-européennes, il n'existe pas une telle proximité phonétique entre les termes correspondants ...

En outre, c'est la première fois que j'entends parler d'un "système octal" de numération ... qui, d'après l'article en lien, aurait été inventé par Charles XII de Suède, donc bien après la formation des mots "neuf" ... L'explication donnée dans cet article de l'homonymie des "neuf" en français me paraît être un superbe exemple de capillo-traction ! Quant à la proximité des racines arabes invoquée dans cet article, je ne trouve pas que la sémantique du nombre neuf, même envisagée dans ce système octal (très probablement inconnu des Arabes et des Indiens, qui nous ont transmis le système décimal), soit proche de celle du verbe "étendre" ...

Concernant l'utilisation des doigts comme support visible des nombres, j'ai par contre déjà lu certaines choses sur les systèmes duodécimal et sexagésimal qui me semblent nettement plus plausibles : pour signifier les nombres de 1 à 12, on compte avec le pouce les douze phalanges des quatre autres doigts de la même main, et l'on indique les numéros des douzaines avec les doigts de l'autre main : on arrive ainsi à 60, comme le faisaient probablement les Sumériens et leurs successeurs en Mésopotamie ...

Bien cordialement, JLB

zeste

@lesmathspointclaires je souligne simplement le fait que les définitions données en classe du caractère décimal (ou rationnel) d'un nombre invoquent presque tout le temps l'objet fraction alors que ce n'est pas nécessaire. Cela m'interroge, et ce choix (de définir systématiquement en faisant intervenir des fractions) ne me paraît pas réfléchi. Plus encore, je pense bénéfique le choix contraire : c'est à dire définir le caractère décimal comme je l'ai fait (sans faire apparaître de fraction), ou de même le caractère rationnel comme tu l'as fait.

lesmathspointclaires

@zeste de ce point de vue je suis d'accord : faire comprendre les objets doit précéder les opérations sur les objets. Et s'il s'agit de commencer par définir, autant ne pas s'embarrasser d'une notation superflue, de plus quand les choses sont présentées de façon optimale la compréhension est d'autant plus claire et ils adhèrent, quelque part ils ont raison de ne pas comprendre, si on parachute un bric à brac comme une trousse à outils mal rangée, mais toute propre et sponsorisée. Si ça se trouve - et cette hypothèse n'est pas si bizarroïde - c'est justement parce qu'on présente mal une notion qui pourrait être quasi instinctive qu'ils se disent "nan si c'était ça qu'ils voulaient dire ils ne le diraient pas comme ça".

biely

jelobreuil a dit :

@biely Bonsoir,

L'étymologie de l'adjectif "neuf" et celle de l'adjectif numéral "neuf", bien que très proches, diffèrent l'une de l'autre, respectivement "novus" et novem", et leur proximité me semble être davantage le résultat d'un hasard linguistique propre au latin que celui d'une parenté de sens, même lointaine. Dans les autres langues anciennes indo-européennes, il n'existe pas une telle proximité phonétique entre les termes correspondants ...

En outre, c'est la première fois que j'entends parler d'un "système octal" de numération ...

@jelobreuil
Tu ne connais pas le na’vi de la lune Pandora?  
https://www.languagesandnumbers.com/comment-compter-en-navi/fr/navi/
Je cite un extrait du dictionnaire russe-francais d’étymologie comparée de Serguei Sakhno:
’’Le numeral russe девять vient du slave commun deveti (avec un E nasal) et se rattache à la base i.e. newn-9 que l’on retrouve dans le latin novem (>fr. neuf, esp. nueve, etc), le grec ancien ennea, l’all. neun. On ne peut s’empêcher de penser à la proximité formelle (allant jusqu’à l’homonymie) entre neuf ’9’ et neuf ’nouveau’ (<latin novum) en français, ou celle entre neun ’9’ et neu ’nouveau’ en allemand. En effet on met souvent en rapport l’i.e. newn- ’9’ avec newos ’nouveau’. Cela peut refléter un système archaïque de numération à base de 4. ’’

jelobreuil

Non, je ne connaissais pas le na'vi ...

Quant à la "proximité formelle" de "neuf" et "neuf" en français et en allemand, je maintiens qu'y voir l'indice d'un système archaïque de numération en base 4 ou 8 me semble très hasardé. Serguei Sakhno, en écrivant "On ne peut s'empêcher de penser ...", me semble généraliser abusivement son opinion personnelle ... En tout cas, moi, je ne la partage pas !

Bien amicalement, JLB

(fin du hors sujet, en ce qui me concerne)

Soc

zeste a dit :

@lesmathspointclaires je souligne simplement le fait que les définitions données en classe du caractère décimal (ou rationnel) d'un nombre invoquent presque tout le temps l'objet fraction alors que ce n'est pas nécessaire. Cela m'interroge, et ce choix (de définir systématiquement en faisant intervenir des fractions) ne me paraît pas réfléchi. Plus encore, je pense bénéfique le choix contraire : c'est à dire définir le caractère décimal comme je l'ai fait (sans faire apparaître de fraction), ou de même le caractère rationnel comme tu l'as fait.

Si tu parles de décimaux, c'est bien que tu as introduit avant les dixièmes, les centièmes etc... Pourquoi faire un blocage sur la division? Même principe pour les rationnels.D'autre part je trouve plus simple quand on parle d'un nombre $x$ de le définir par $x=$.

Je suis donc dubitatif, mais si tu as une structure de cours à présenter je la lirai avec intérêt.

Sato

@lourrran
https://en.wiktionary.org/wiki/octodecim#Latin 

This form is rare, and is found primarily in bookish post-Classical Latin.

On peut penser que octodecim est la façon naturelle d'écrire IIIIIIIIIIIIIIIIII avec le système de numération arrivé en Europe des siècles après l'époque des latins classiques pour lesquels duodeviginti était naturel au vu de leur système d'écriture des nombres.