question d'analyse réelle

simo.touily

montrer que si la suite  $(e^{itx_n})$ converge pour tout  $t\in\mathbb R$ alors la suite $(x_n)$ converge

JLT

 * Traiter le cas d'une suite bornée.
 * Si elle n'est pas bornée, on se ramène au cas de $x_n\to +\infty$. Soit $g(t)=\lim_{n\to +\infty} e^{itx_n}$ alors pour tout $a$, $\int_{-a}^a \overline{g(t)}e^{itx_n}\,dt$ tend vers $\int_{-a}^a \overline{g(t)}g(t)\,dt=2a$ mais aussi vers $0$ (Riemann-Lebesgue), contradiction.

JLapin

Ce joli problème a déjà été évoqué sur le forum.

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337907/convergence-dune-suite-reelle-sous-hypothese

simo.touily

merci pour votre réponse