Construction de suites de fonctions

APf

Bonjour,
En cherchant un certain contre-exemple pour un exercice, je trouve nécessaire de faire la construction suivante :

Soit $X=\R$ et $f \in C^{0}\cap L^2$, et je dois construire deux séquences $ f_n$ et $g_n$ dans $C^{0}\cap L^{2}$ telles que les deux séquences convergent vers $f $ dans $L^2 $ mais que leur comportement à l'origine soit tel que $f_n(x) = 0$ et $g_n(x) = 1$ pour tout $n$.

Mon raisonnement est le suivant : je peux d'abord construire les séquences $f_n$ et $g_n$ dans $C^\infty \cap L^2$ puisque $C^{\infty}(\R) \subset C^{0}(\R)$.

Pour $f_n$, je considère utiliser un argument de régularisation sur $f$ par convolution $j_n \ast f$ avec $j_n$ une suite régularisant standard et ensuite je cherche à utiliser une ""fonction plateau""  à l'origine $\chi \in C^\infty$, $\chi(x) = 0 $ pour $|x| \leq 1$ et $\chi(x) = 1$ pour $|x| \geq 2$ avec $\chi_n(x) = \chi(nx)$ [Ou quelque chose comme cela, j'ai en tête un graphique comme $1/e - \phi(x)$ où $\phi$ est la "fonction bump"].

Avec cette configuration, j'ai $f_n(0) = 0$ comme requis et j'ai construit cela car je veux convergence vers $f $ dans $L^2$. Mais ici, je trouve quelques doutes. Par exemple, je sais que la façon standard de définir une "fonction plateau" où "cut-off function" est qu'elle soit $1 $ sur un ensemble d'intérêts et $0$ "un peu plus loin" de l'ensemble d'intérêt. Plus précisément, $\chi(x) = 0$ pour $|x| \leq 1$ et $\chi(x) = 1$ pour $|x| \geq 2$ avec $0 \leq \chi \leq 1$ et $\chi \in C_c^\infty$. Donc je ne sais pas si la fonction $\chi$ que j'ai définie précédemment peut être appelée une "fonction plateau" car elle ne satisfait clairement pas cette notion. Je sais que selon le théorème de convergence dominée avec la définition standard de fonction "plateau", on peut prouver que $\chi_n f$ converge vers $f $ dans $L^p$. Lorsque j'essaie d'imiter cette preuve, je me rends compte qu'il est crucial que $\chi$ soit à support compact, mais clairement ma fonction $\chi$ n'est pas à support compact. Alors, je ne suis pas capable d'assurer la convergence. Alors, comment construire $f_n$ et $g_n$ ?

Ma question suivante est un peu plus générale : quelle devrait être une méthode pour une question du type "construisez une séquence de fonctions qui converge vers une certaine fonction dans un espace normé $X$?"

J'ai vu par exemple que parfois une première étape peut être "dessiner la but fonction " et ensuite essayer de créer une séquence de fonctions par interpolation. Quel est le cheminement de pensée que l'on devrait poursuivre dans ce type de constructions?

Merci beaucoup à l'avance,

Cordialement,

Apf

bd2017

Bonjour ça me semble bien compliqué ce que tu racontes et en particulier la but fonction, c'est quoi ce machin ?
D'autre part tu veux généraliser avant d'avoir su répondre à la question.
Si tu prends h_n la fonction affine par morceau, continue, paire valant 0 en x= 0 et 1 pour x supérieur a 1/n lors f_n=h_n f me semble répondre à la question ?

APf

Bonjour et merci pour votre réponse.
En effet, mon message montre que j'avais pensé à quelque chose de très compliqué ; j'espère que c'était dû à la fatigue. Lorsque je parlais de "but fonction", je voulais dire que je considérais $f$ comme la fonction à laquelle je devais arriver avec certaines conditions, peut-être un mauvais choix de termes.
Je pense que la suite $h_n$ dont vous parlez correspond à ce que j'avais en tête lorsque j'essayais d'écrire $\chi_n(x) = \chi(nx)$, seulement je pensais à une version $C^\infty$, ou du moins, c'est ce que j'essayais de faire avec la fonction plateau...

bd2017

Rebonjour

Ce qu'il serait bien c'est de vérifier que ma proposition est correcte.  Ensuite pour la suite $g_n$   j'ai mon idée en ré-utilisant $h_n.$ Ceci étant dit, je pense qu'il n'y a pas une solution unique..