Matrice aléatoire ?

Calembour

J'ai récemment découvert le concept de matrice aléatoire : une matrice dont les composantes sont des variables aléatoires.
Je connais les matrices à coefficients dans un corps ou éventuellement dans un anneau que l'on peut considérer comme plongé dans son corps des fractions.

Mais c'est vrai qu'au moment où j'ai vu le concept de matrice dont les composantes sont des variables aléatoires, je me suis posé des questions comme : est-ce que certains ensembles de variables aléatoires sont des anneaux ou des corps ?

On peut aussi comprendre le concept de variable aléatoire, comme une fonction. Dans ce cas, dire que ces matrices ont pour composantes des variables aléatoires serait un abus de langage et en fait les composantes de ces matrices vivraient dans un espace mesurable (espace "d'arrivé" des variables aléatoires) : 

$$A( \omega) = \begin{pmatrix} X( \omega) & Y( \omega) \\ Z( \omega) & T( \omega) \end{pmatrix}$$

Je me demandais donc est-ce qu'il ne faut pas que l'espace mesurable d'arrivé des différentes variables aléatoires soit un anneau ? Ou alors ça peut vraiment être un espace mesurable quelconque (comme le suggère les définitions que j'ai pu voir) ?

Je suis désolé si tout cela parait un peu confus (je suis une bille en probabilités)

Calembour

Positif

Niveau mesurabilité , comme $\mathcal{M}_n( \mathbf{R} ) $ est isomorphe à $\mathbf{R}^{n \times n}$, les problèmes de mesurabilité sont exactement les mêmes que les problemes dans $\mathbf{R}^n$. Une "matrice" aléatoire est une variable aléatoire dans $\mathbf{R}^{n \times n}$. La composante spéciale de l’étude des matrices aléatoires carrées, c’est la distribution des valeurs propres. 

JLapin

Si tu veux faire des calculs avec tes matrices, il est souhaitable que tes variables aléatoires coefficients soient à valeurs dans un anneau commutatif. La plupart du temps, les variables aléatoires coefficients de matrices aléatoires sont à valeurs dans $\C$ ou un sous-anneau de $\C$.

Calembour

Ok merci à vous deux, c'est plus clair !

Georges Abitbol

Je suis d’accord avec les autres réponses, mais je voudrais quand même dire un truc trivial, au cas où ce soit justement une partie du truc qui te chiffonne. 

Est-ce que tu es familier avec la (dé)curryfication ? Il s’agit du fait (évident) qu’on peut donner les arguments d’une fonction dans l’ordre qu’on veut.
Précisément, une fonction $E\rightarrow (F \rightarrow G)$ s’identifie de manière naturelle avec une fonction $E\times F \rightarrow G$, qui s’identifie naturellement avec une fonction $F\rightarrow (E\rightarrow G)$.

Ici, souvenons-nous qu’une matrice, c’est une application $n^2\rightarrow \mathbb{R}$. Par conséquent, est-ce qu’une matrice aléatoire est une application $\Omega \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ (i.e. une « variable aléatoire à valeurs dans les matrices »), ou alors un élément de $n^2 \rightarrow (\Omega \rightarrow \mathbb{R})$ (ce qui s’apparente plus à une « matrice de variables aléatoires ») ? Ben, la réponse, c’est que c’est comme tu veux, qu’il n’y a pas de problème de mesurabilité en considėrant la première situation où la deuxième (je veux dire : les deux notions de mesurabilité coïncident).