convergence de martingale bornée dans L1

amafhh

bonjour,

il y a un théorème qui dit que si $(X_{n},F_{n})$ une sous martingale qui est borné dans $L1$ alors $X_{n}$ converge p.s. vers une v.a. $X_{\infty}$ integrable et $F_{\infty}$-mesurable.

Question: A-t on  $(X_{n},F_{n})_{n\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}}$ une sous martingale ?

Si oui, svp l'idée de la preuve et des references 

merci pour la réponse et l'aide.

Positif

Si c'était vrai, ce serait dans le théorème . Rule of Thumb des maths. Si c'était vrai, on l'aurait appris. 

Parku

La réponse est non. L'exemple suivant est tiré de l'excellent polycopié https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~jean-francois.le-gall/IPPA2.pdf à la page 172.

On prend la marche simple issue de $1$ dans $\mathbb{Z}$ , c'est-à-dire $S_n = 1 + X_1 + \ldots + X_n$ où les $X_i$ sont iid, valant $1$ ou $-1$ de façon équiprobable. On pose $T = \inf\{n\in \mathbb{N}~|~S_n = 0\}$. La récurrence de la marche simple en dimension $1$ montre que $T$ est fini presque sûrement.

Le théorème d'arrêt indique que le processus $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ défini par $X_n := S_{\min(n,T)}$ est une martingale. Comme elle est positive, on a $\mathbb{E}[|X_n|] = \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X_0] = 1$ pour tout $n \in \N$, donc la martingale est bornée dans $L^1$. La finitude presque sûre de $T$ montre que $X_n$ converge presque sûrement vers $X_\infty = 0$.  Si le processus $\left(X_n\right)_{n\in \N \cup \{+\infty\}}$ était une sous-martingale, on aurait $0 \leq X_n \leq \mathbb{E}[X_\infty | F_n] = 0$ pour tout $n$. Or $X_0 = 1$.

Si tu ne connais pas, tu peux regarder la notion de martingale fermée dans le polycopié dont j'ai mis le lien.