Théorème du point fixe

lorentz

Bonsoir,

Je suis bloqué sur la première question d'un exercice, je ne parviens pas à démarrer.
Je pense que pour démontrer que ça n'est pas une contraction, il faut raisonner par l'absurde.

Georges Abitbol

Si tu le penses, vas-y. Sinon, en cas de manque d’inspiration, je pense que la première chose à faire serait de calculer des $T(f)$ pour certaines $f$ de ton choix, pour voir à quoi elles ressemblent.

Foys

Soit $(E,d)$ un espace métrique complet, $n$ un entier non nul, $K\in [0,1[$ un réel et $f: E \to E$ une fonction telle que pour tous $x,y\in E$, $d\left (f^n(x), f^n(y) \right)$ \leq K d(x,y). Montrer que $f$ possède un point fixe unique.

NB: 1°) $f^n$ désigne $f \circ f \circ ... \circ f$ ($n$ fois)
2°) on pourrait penser que ce résultat est plus dur que son cas particulier célèbre où $n=1$ ("théorème du point fixe de de Picard-Banach") mais il s'avère que non, pas du tout. Pourquoi?

lorentz

Georges,

Je commence comme ça mais après je bloque, j'ai compris qu'on doit arriver à une contradiction mais je sais pas comment

raoul.S

Il vaut mieux regarder ce qu'il se passe avec certaines fonction particulières simples. Par exemple $f$ constante et $g$ nulle...

lorentz

D'accord Raoul, 

Mais quelqu'un qui connait son cours, comment sait-il qu'il ne faut pas dérouler les définitions et regarder ce qui se passe pour des valeurs de f et g constantes? 

lorentz

Ah ça y'est, j'ai compris, il faut trouver un contre exemple, puisqu'il y'a un quelque soit dans la définition de la contraction, on trouve deux fonction de X qui ne vérifie pas la contraction. 

raoul.S

Oui, c'est bien ça.