Série Absolument cv et non cv.

Zakariyae

Salut à tous,
Je cherche un exemple d'une série absolument convergente et non convergente, bien sûr, sur un espace n'est pas de Banach. Car sinon, le résultat est toujours vrai.
Merci 

JLT

Dans $c_0$ (l'espace des suites à support fini) muni de la norme $\ell^1$, la série $\sum 2^{-n}e_n$ est un contre-exemple (où $e_n$ est la base canonique).

JLT

Plus généralement : montrer que si $E$ est un espace vectoriel normé non complet, alors il existe une série absolument convergente non convergente à valeurs dans $E$.

raoul.S

On peut montrer la contraposée : si toutes les séries absolument convergentes convergent, alors $E$ est complet.

Preuve : soit $(v_n)$ une suite de Cauchy, montrons qu'elle converge. On voit facilement qu'il existe $f:\N\to \N$ strictement croissante telle que pour tout entier $n$, si $n\geq f(k)$ alors $\|v_n-v_{f(k)}\|\leq 2^{-k}$. On considère la suite $(w_n)$ définie par $\forall n, w_n:=v_{f(n+1)}-v_{f(n)}$. Alors $\sum \|w_n\|< +\infty$, donc $\sum w_n$ converge. Or $\sum_{n=0}^m w_n=v_{f(m+1)}-v_{f(0)}$. Donc $(v_n)$ possède une valeur d'adhérence, donc elle converge.

bisam

La série $\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}$ est absolument convergente dans le $\Q$-espace vectoriel normé $(\Q, |...|)$ mais pas convergente.

Zakariyae

Ok, merci pour vos éclaircissements

jean lismonde

Bonsoir

je suis étonné par la réponse de bisam :

la série $\Sigma_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}$
est bien convergente (elle converge d'une façon alternée vers 2ln2 - 1)

en effet si on décompose le terme général
la série se présente sous la forme de la différence de deux séries convergentes

$\Sigma_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+1} - \Sigma_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+2}$
soit ln2 +ln2 -1 = 2ln2 - 1

Cordialement

Math Coss

Cet étonnant @bisam doit penser que $2\ln2-1$ n'est pas un rationnel ?