Fonctions holomorphes

Hypocrates

Les fonctions holomorphes qui sont rationnelles sur les rationnels sont-elles denses dans les fonctions holomorphes ? 

Philippe Malot

Bonsoir,
Je fixe un ouvert non vide $U$ de $\C$.

T’intéresses-tu aux fonctions homolorphes sur $U$ qui vérifient $f(U\cap\Q[i])\subset\Q[i]$ ou alors 
aux fonctions entières (holomorphes sur $\C$) qui vérifient $f(\Q)\subset\Q$ ?

Hypocrates

On peut s'intéresser aux deux cas que tu exposes et au cas où c'est sur un ouvert qui intersecte les réels. . 

JLT

Philippe Malot a dit :

 $f(\Q)\subset\Q$ ?

Cette condition s'écrit $f(z)=\overline{f(\bar{z})}$ pour tout $z\in\Q$ donc cette égalité reste vraie pour tout $z\in U$ d'après le principe des zéros isolés, si on a supposé $U$ connexe. Il n'y a donc pas densité.
Si on veut que $f(U\cap \Q[i])\subset \Q[i]$, c'est vrai pour $U=\C$ car une fonction entière est limite (uniforme sur tout compact) d'une suite de polynômes à coefficients rationnels. Dans le cas général je ne sais pas.

Foys

Une fonction holomorphe $f$ telle $f(\Q) \subseteq \Q$ satisfait aussi $f(\R) \subseteq \R$ et l'ensemble des fonctions qui satisfont cette propriété est stable par limite simple (donc aussi a fortiori par limite uniforme sur tout compact).

Ainsi, $z \mapsto iz$ n'est pas approchable par de telles fonctions.

Soit $U$ un ouvert égal à $\C$ ou à un disque ouvert et $f: U \to \C$ une fonction holomorphe. Alors il existe une suite de fonctions polynomiales $(P_n)_{n\in \N}$ convergeant uniformément sur tout compact vers $f$ (en écrivant simplement le développement en série entière de $f$) et il suffit d'approcher chaque $P_n$ par un polynôme à coefficients dans $\Q + i \Q$ pour avoir une réponse positive à la question initiale du fil.

Hypocrates

Merci. Existe-t-il une série entière non polynômiale qui soit algébrique sur les algébriques ?

Hypocrates

Et rationnelle sur les algébriques ? 

Renart

Quel est le but de ta question ? C'est une devinette dont tu connais la réponse, un exercice à préparer, une question qui t'ai venue comme ça... ? Qu'est-ce que tu as déjà fais pour essayer d'y répondre ?

Le chapitre 13 de analyse réelle et complexe de W. Rudin devrait te permettre de répondre à ta première question.

Hypocrates

Il est possible de construire une fonction holomorphe qui soit rationnelle sur les rationnels, on commence par numéroter les rationnels, on fait les produits $\prod_{k<n}(z-q_k)$ et l'on somme avec des coefficients rationnels petits. Pour algébrique sur les algébriques, c'est la même chose, mais pour les rationnels sur les algébriques, je ne sais pas faire. Peut-être que c'est faux ?

Math Coss

Pourquoi est-ce que la fonction limite serait rationnelle aux rationnels ? La série de l'exponentielle est une limite de polynômes à coefficients rationnels mais elle prend des valeurs irrationnelles en presque tout rationnel.

Ah oui, ici, presque tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang. Cependant je voudrais bien voir un choix plus ou moins explicite de « coefficients rationnels petits » qui garantit la convergence – peut-être que diviser par $n!\prod_{k<n}(1+|q_k|)$ pourrait marcher ?

Hypocrates

Je crains que l'on ne puisse pas exprimer les coefficients, ils dépendent du numérotage des rationnels. 

Hypocrates

Diviser par ton produit peut marcher je crois. 

Etienne91

@Hypocrates ta fonction définie comme un produit ne serait-elle pas nulle sur les rationnels ? D’après le théorème des zéros isolés, tu obtiendrais la fonction identiquement nulle ? Ou j’ai loupé quelque chose peut-être 

Math Coss

Les premiers termes ne sont pas nuls. Pour le rationnel $r_k$, les termes d'indices $0$ à $k-1$ ne sont pas nuls.

Renart

Il est possible de construire une fonction holomorphe qui soit rationnelle sur les rationnels,

Comme la fonction identité ? J'avoue que je ne vois pas bien à quel question répondrait la construction que tu donnes...

Math Coss

Ce serait une fonction non polynomiale rationnelle sur les rationnels. Vu que le premier exemple de fonction non polynomiale [auquel je pense] est l'exponentielle et qu'elle est irrationnelle en tout rationnel, ça ne va pas de soi.

verdurin

Je ne suis pas certain d'avoir bien compris le problème mais il me semble qu'une fonction comme $x\mapsto 1/x$ a une image rationnelle pour les rationnels, algébrique sur les algébriques et qu'elle est holomorphe et non polynomiale sur $\C^*$.

Math Coss

D'une part elle n'est pas entière, d'autre part il me semble clair que si on autorise des pôles il faut remplacer « non polynomiale » par « non rationnelle ».

verdurin

Je n'ai pas vu où il est demandé que la fonction soit entière. Mais je saute souvent des mots.

Toutes mes excuses.

Math Coss

Bon, pardon, j'ai réagi trop vivement : il est vrai que ce n'est pas écrit. Cependant, quitte à prendre une fonction holomorphe, autant que ce ne soit pas une fraction rationnelle, tout de même.

verdurin