triangle inscrit dans un cercle et circonscrit à une conique.

RHOM

Salut à tous 

 Soient $\odot(O)$ un cercle et $F_1,F_2$ deux points $(\not\in\dot(O) \ )$.

Construire une conique $c$ de foyers $F_1,F_2$ telle qu il existe un triangle inscrit dans $\odot(O)$ et circonscrit à $c$.

cordialement

RH HAS

pappus

Bonsoir à tous

Soit $x^2+y^2-2ux-2vy+p=0$ l'équation du cercle.

Soit $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0$ l'équation de l'ellipse, je trouve pour relation de fermeture du porisme de Poncelet:

$$p^2+2p(a^2+b^2)+(a^2-b^2)^2-4(a^2u^2+b^2v^2)=0$$

Si le cercle et l'ellipse sont concentriques, le cercle est alors un des deux cercles de Chasles de l'ellipse.

Amicalement

pappus

Hint:

1° Exercice 35, page 502, G.Commissaire, E.Ramis, J.Commeau, Tome 3 (du nouveau cours de Mathématiques Spéciales), Géométrie (défunte), édité chez Masson

2° Théorème 9.5.2, page 426, Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal, The Universe of Conics, édité chez Springer.

RHOM

   La construction  est équivalente à trouver  un triangle inscrit dans $\odot(O)$ pour lequel $F_1,F_2$ sont isogonaux.

(J'utilise  la propriété suivante: si $P,P'$ et $Q,Q'$ sont deux paire d' isogonaux par rapport à $ABC$ alors les cercles $\odot(APQ ),\odot(AQ'P')$ et $\odot(ABC)$ sont concourants.)

D'autre part  j'ai "une condition" concernant la clôture de poncelet  pour le cas d'une  conique et un cercle... voir le lien ici

  (est-ce que c'est  nouveau ou c'est seulement une redécouverte?! )

Avec cette condition on peut aisément  montrer que les cercles de Chasles  dans le cas de l'ellipse  qui (edité) ont les rayons $=a\pm b$ sont les solutions lorsque  $O$ est  le milieu de$F_1F_2$...

pappus

Mon cher RHOM

Contemple la figure ci-dessous.

En ce qui concerne les cercles de Chasles de l'ellipse d'équation réduite dans un certain repère othonormé: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0$, ce sont par définition les cercles d'équation dans le même repère: $x^2+y^2-(a\pm b)^2=0$.

Il va falloir que je vérifie si ma relation de fermeture est la même que la tienne!

Amicalement

pappus

RHOM

Sorry!
Je viens de réaliser que je n'ai pas précisé  une condition sur $P',Q' $;

 j 'ai rectifié le post précédent.

cordialement