Petit calcul de série

Calembour

Calculer la somme de la série : 

$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \int_0^1 \frac{dt}{(1+t)^{2n}} $$

Généralisation ?
Pour $\alpha = 3,4,5...$ et $k \le \alpha$ : 
 $$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \int_0^1 \frac{dt}{(1+t)^{\alpha n+k}} $$

Calembour

Fin de partie

\begin{align}S&=\sum_{n=0}^\infty\frac1{2n+1}\int_0^1\frac{1}{(1+t)^{2n}}dt=1+\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n+1}\underbrace{\int_0^1\frac{1}{(1+t)^{2n}}dt}_{u=\frac1{1+t}}\\ &=1+\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n+1}\int_\frac12^1u^{2(n-1)}du\\ &=1+\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n+1}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{(2n-1)2^{2n-1}}\right)\\ &=1+\underbrace{\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)(2n-1)}}_{=S_1}-\underbrace{\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)(2n-1)2^{2n-1}}}_{=S_2} \end{align} \begin{align}\sum_{n=1}^{N}\frac1{(2n+1)(2n-1)}&=\frac{N}{2N+1}\\ \sum_{n=1}^{N+1}\frac1{(2n+1)(2n-1)}&=\frac{N}{2N+1}+\frac1{(2N+3)(2N+1)}\\ &=\frac{1}{2N+3}\left(\frac{N(2N+3)}{2N+1}+\frac{1}{2N+1}\right)\\ &=\frac{N+1}{2N+3}\\ S_1&=\boxed{\frac12}\\ S_2&=\frac12\underbrace{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)2^{2n-1}}}_{=S_{2,1}}-\frac12\underbrace{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n+1)2^{2n-1}}}_{=S_{2,2}}\\ S_{2,1}&=\text{arctanh}\left(\frac12\right)\\ S_{2,2}&=4\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)2^{2n+1}}-2=4\text{arctanh}\left(\frac12\right)-2\\ S_2&=\boxed{1-\frac32\text{arctanh}\left(\frac12\right)}\\ &\boxed{S=\frac12+\frac32\text{arctanh}\left(\frac12\right)} \end{align}

PS: $\displaystyle \text{arctanh}\left(\frac12\right)=\frac12\ln 3$

Fin de partie

J'ai des doutes pour une généralisation avec une forme close pour $\alpha$ un nombre entier impair. Pour un nombre entier pair, cela reste à voir en détail (mais à vue de nez cela pourrait marcher)

JLapin

Si on utilise l'inversion série intégrale (ici, tout est positif) et les séries entières usuelles, on peut gagner un peu de temps pour le premier calcul.

Pour le deuxième, je ne me prononce pas : peut-être demander à un logiciel de calcul formel ce qu'il en pense...

Fin de partie

@JLapin: Quand $t\in [0,1]$ alors $1+t\in [1,2]$ c'est fâcheux ici me semble-t-il.

PS:

J'avais commencé à ne pas tenir compte du domaine de validité du développement en série entière de la fonction $\text{arctanh}$. On se retrouve avec l'intégrale $\displaystyle \int_0^1(1+t)\text{arctanh}(1+t)dt$ qui n'a pas une valeur réelle.

JLapin

Mais $\dfrac{1}{1+t}\in [1/2, 1[$ : ça me semble suffire pour sommer (ici, on intègrera sur l'intervalle semi-ouvert $]0,1]$).

Fin de partie

@JLapin: Tu as raison, mon premier* calcul était foireux, la somme est égale à,

\begin{align} \int_0^1(1+t)\text{arctanh}\left(\frac1{1+t}\right)dt=\frac12+\frac34\ln 3\end{align}

*: J'ai cru que le développement en série était sur la quantité $1+t$ au lieu de son inverse.

PS:

Il  y avait une erreur de recopie du résultat donné par Wolfy. Le résultat est le même que celui donné plus haut.

Fin de partie

Je pense qu'on a, au moins, la généralisation suivante,
\begin{align}S_{2p}=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \int_0^1 \frac{dt}{(1+t)^{2pn}}=\int_0^1(1+t)^p\text{arctanh}\left(\frac{1}{(1+t)^p}\right)dt\end{align}