Limite du 14 octobre 2024

etanche

Bonjour 

$d(k)$ le nombre de diviseurs positifs d’un entier $k$. 

$u(n)=d(2!3!…n!)$ 
$y(n)=(u(n))^{1/n}$ 
Calculer la limite de $y(n)$

Merci 

LOU16

Edit: le message suivant est entaché d'une erreur de calcul qui le rend sans intérêt.

Bonjour,

Il importe ici de connaître la "formule de Legendre", qui donne l'expression de $\mathcal V_p(n!).$

Notons: $\:\:\forall n\in \N^*,\:a_n =\displaystyle\prod_{k=1}^n k!.\quad\forall p\in \mathbb P,\:\:\mathcal V_p\left(a_n\right)=\displaystyle \sum_{k=1}^n\sum_{s=1}^{+\infty}\left\lfloor \dfrac k{p^s}\right\rfloor\leqslant \sum_{k=1}^nk\sum_{s=1}^{+\infty} \dfrac 1{p^s}<\dfrac{n(n+1)}{2(p-1)}.\quad $

$u_n =\displaystyle \prod_{p\leqslant n}\left(\mathcal V_p(a_n)+1\right).\qquad 0\leqslant \log u_n<$faux$\:\:\log\left[(n+1)^2\sum_{p\leqslant n}\dfrac 1{p-1}\right]\leqslant \log\left[n(n+1)^2\right],\qquad\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\log u_n}n =0,$ $$\displaystyle \lim_{n\to + \infty} y_n=1.$$

etanche

@Lou16 des tests numériques avec un logiciel donne $e$.

LOU16

Re,

 J'ai en effet manqué de vigilance et me suis  planté  dans la majoration de $\log u_n$

JLapin

Source stp @etanche ?

etanche

@ JLapin c’est amm 12493

etanche

$sf(n)=1!2!3!…n!$ est appelé super factoriel ordre $n$ 

depasse

Bonjour à tous
@LOU16 et @etanche
Une idée:

au lieu de regarder $\:a_n =\displaystyle\prod_{k=1}^n k!$, regarder $\:a_n =\displaystyle\prod_{k=1}^n k^{n+1-k}$, croiser les doigts en espérant un encadrement plus fin.
Autrement dit, au lieu de lire le tableau
1
12
123
1234
.....
horizontalement, le lire verticalement et rêver étendre la méthode de Legendre (qui ne donne que le $v_p(n!)$ de chaque ligne) à tout le tableau triangulaire ci-dessus.
Il va de soi que je n'ai pas réalisé mon rêve.
Amicalement
Paul

LOU16

Bonjour,

J'ai conservé les même notations et la même approche, en m'efforçant d'échapper cette fois aux erreurs de calcul. Il m'a paru nécessaire d'utiliser les deux résultats (très difficiles) suivants, équivalents au "théorème des nombres premiers",mais rien  ne dit qu'il n'existe pas un itinéraire plus élémentaire.

$$\pi(n) :=\displaystyle \sum_{p\leqslant n} 1\underset{n\to +\infty}{\sim} \dfrac n{\log n}\:\:(1),\quad \theta(n) :=\sum_{p\leqslant n} \log p\underset{n\to + \infty}{\sim} n \:\:(2).$$

$a_n =\displaystyle\prod_{k=1}^n k!.\quad\forall p\in \mathbb P,\:\:\mathcal V_p\left(a_n\right)=\displaystyle \sum_{k=1}^n\sum_{s=1}^{+\infty}\left\lfloor \dfrac k{p^s}\right\rfloor,\quad\sum_{k=1}^n\left\{\left(\sum_{s/p^s\leqslant k}\dfrac k{p^s} \right)-\dfrac{\log k}{\log p}\right\} \leqslant \mathcal V_p(a_n)\leqslant \sum_{k=1}^n\sum_{s=1}^{+\infty}\dfrac  k{p^s}$

$\displaystyle\dfrac{n^2}{2p}-\frac {S_n}{\log p}\leqslant \mathcal V_p(a_n)\leqslant \dfrac {n(n+1)}{ 2(p-1)},\quad \forall n \in \N_{>3},\:\:\forall p\in \mathbb P_{>2}, \quad \dfrac{n^2}{2p}-\frac {S_n}{\log p}\leqslant \mathcal V_p(a_n)\leqslant \dfrac{n^2}p,\:$ où $\:\:S_n= \displaystyle \sum_{k=1}^n \log k.$

$ u_n =\displaystyle \prod_{p\in \mathbb P, p\leqslant n}\left(\mathcal V_p(a_n)+1\right),\quad U_n:=\sum_{p\leqslant n }\log\left(\dfrac {n^2}{2p} -\dfrac {S_n}{\log p}\right)\leqslant \log u_n\leqslant \sum_{p\leqslant n}\log \left( \dfrac {n^2}p +1\right):=V_n$

$\displaystyle\bullet\:\: V_n =2 \pi(n)\log n -\theta (n)+\sum_{p\leqslant n}\log\left( 1 +\dfrac p{n^2}\right)< \pi(n)\log n -\theta (n)+\sum_{p\leqslant n}\dfrac 1n: =B_n,\quad B_n\underset{n\to +\infty}{\sim}n.\:\:(\bigstar\bigstar)$

$\bullet\:\:U_n=\displaystyle  2\pi(n)\log n -\theta (n)-\pi(n)\log 2 +\sum_{p\leqslant n}\log \left( 1-\dfrac{pS_n}{n^2\log p}\right).\quad \sum_{p\leqslant n}\log \left( 1-\dfrac{pS_n}{n^2\log p}\right)>\pi(n) \log\left( 1-\dfrac {S_n}{n \log n }\right)$

$1-\dfrac {S_n}{n\log n} =1-\dfrac {n\log n-n +\mathcal o(n)}{n \log n}= \dfrac 1{\log n} +\mathcal o\left(1/\log n\right)\qquad \pi(n) \log\left( 1-\dfrac {S_n}{n \log n }\right)\underset{n\to + \infty}{\sim}-\pi(n) \log \log n.$

Soit $A_n =2\pi(n)\log n-\theta(n)-\log\left( 1-\dfrac {S_n}{n \log n }\right).\:\: $  Avec $(1)$ et $(2), \:$ on obtient:$\: A_n\underset {n\to +\infty}{\sim} n.\:\:(\bigstar)$

$(\bigstar) , (\bigstar\bigstar), \:\:A_n<\log u_n < B_n\: $ entrainent que $\:\log u_n\underset{n\to +\infty}{\sim}n, \quad \displaystyle \lim_{n\to +\infty}y_n =\mathrm e.$

Aperçu

etanche

@LOU16 jolie sculpture mathématiques.

depasse

Je dis bien sûr bravo, même si je suis loin de tout comprendre...et ce n'est pas que tu es trop concis!

etanche

Je pensais que c'était un exercice niveau terminale, concours général de maths.