Martingale à temps discret : exercice théorème d'arrêt

Sn

Bonjour,

Je m'entraine sur un ancien examen, mais je vois pas comment faire ici : 
En effet, il faudrait utiliser le théorème d'arrêt n'est-ce pas ? Mais $T$ n'est pas borné...

Barjovrille

Bonjour, je ne connais pas bien le théorème d'arrêt, mais ici tu peux montrer que $T$ est borné presque sûrement (ça devrait suffire pour le théorème ?), il faut utiliser le fait que $lim_{t \to \infty} M_t =0$.

Parku

L'inégalité qui définit $T$ est-elle dans le bon sens ? Parce que comme c'est écrit ici, rien n'assure que $T$ soit fini presque sûrement (prendre $M_t = 0$ pour tout $t$).

Edit : Après réflexion, je crois que l'énoncé est correct, il pose $M_\infty = 0$ sans le dire. Dans ce cas on a $M_T = M_0 \mathbb{1}_{(M_0 \geq x)} + x \mathbb{1}_{(M_0 < x) \cap (T < +\infty)}$ (cela utilise la continuité), d'où (presque sûrement) $\mathbb{E} \left[ M_T | \mathscr{F}_0 \right] = M_0 \mathbb{1}_{(M_0 \geq x)} + x \mathbb{1}_{(M_0 < x)} \mathbb{E} \left[ \mathbb{1}_{(T < +\infty)}  | \mathscr{F}_0 \right] $.

On doit donc prouver que $M_0 = M_0 \mathbb{1}_{(M_0 \geq x)} + x \mathbb{1}_{(M_0 < x)} \mathbb{E} \left[ \mathbb{1}_{(T < +\infty)}  | \mathscr{F}_0 \right] $.

Pour ce faire, tu peux remarquer que pour tout $t >0$, le théorème d'arrêt s'applique avec le temps borné $\min(T,t)$. On a $$M_{\min(T,t)} = M_0 \mathbb{1}_{(M_0 \geq x)} + M_t \mathbb{1}_{(M_0 < x) \cap (T\geq t)} + x \mathbb{1}_{(M_0 < x) \cap (T \leq t)}$$ (le dernier cas utilise la continuité). Le théorème d'arrêt indique donc que

$$M_0 = \mathbb{E}\left[ M_{\min(T,t)} | \mathscr{F}_0 \right] =  M_0 \mathbb{1}_{(M_0 \geq x)} + \mathbb{1}_{(M_0 < x)} \mathbb{E} \left[ M_t \mathbb{1}_{(T \geq t)} | \mathscr{F}_0 \right] + x \mathbb{1}_{(M_0 < x)} \mathbb{E}\left[ \mathbb{1}_{(T \leq t)}  | \mathscr{F}_0\right].$$

Il reste à passer à la limite quand $t \to + \infty$ en utilisant la version conditionnelle du théorème de convergence dominée (dans l'espérance contenant $M_t \mathbb{1}_{(T \geq t)}$, dominer par $x$).

Sn

Merci, je vais regarder cela.