Un déterminant donnant lieu à deux équations différentielles ordinaires linéaires (X 2006)

DimitriosA

Bonjour,

Merci pour l'accueil. C'est ma première question ; j'espère son contenu convient au forum.

Ceci est un exercice tiré du livre Maths mpsi (H prépa Allano Chevalier et Xavier Oudot).

Ci-après la solution.

En appliquant les propriétés les déterminants j'ai réussi à obtenir les mêmes résultats.

En revanche, je ne comprends pas la partie encadrée. Pourquoi le besoin de cette analyse à part ?

Merci d'avance de votre aide.

gerard0

Bonjour.

Une fois trouvés les deux cas possibles, il se pourrait qu'une solution globale soit composée du premier cas sur une partie de $\mathbb R$ et du deuxième sur le reste (raccordement $C^2$) . L'encadré étudie l'éventualité pour montrer qu'elle aboutit à un cas particulier aussi bien du premier cas (C=0) que du deuxième (A=B=0). D'où la conclusion.

Cordialement.

JLT

La solution ne me semble pas très claire. Soit $X$ l'ensemble des $x$ tels que $y(x)=y'(x)=y''(x)$ et $Y$ l'ensemble des $x$ tels que $y(x)+y'(x)+y''(x)=0$. Le calcul du déterminant montre que $\R=X\cup Y$. Soit $Z=X\cap Y$. C'est un fermé. Son complémentaire est la réunion des deux ouverts disjoints $X^c$ et $Y^c$. Supposons $X^c\ne\emptyset$. Soit $]a,b[$ un intervalle ouvert maximal inclus dans $X^c$.
Si $b\ne+\infty$ alors $b\notin X^c$. Mais on a aussi $b\notin Y^c$ sinon $Y^c$ devrait contenir des points dans un intervalle $]b-\epsilon,b[$. Donc $b\in Z$, d'où $y(b)=y'(b)=y''(b)=0$. En résolvant l'équation différentielle sur $]a,b[$ on en déduit que $y=0$ sur $]a,b[$ donc $]a,b[\subset Z$. Contradiction. Donc $b=+\infty$, et de même $a=-\infty$ d'où $X^c=\R$, $X=\emptyset$ et $\R=Y$.
On raisonne de même si $Y^c\ne\emptyset$.
Enfin si $X^c=Y^c=\emptyset$ alors $y$ est identiquement nulle sur $\R$.

Philippe Malot

Bonsoir,
Le moins que l’on puisse de dire est que la rédaction de ce manuel laisse à désirer.

N’existe-t-il pas un résultat général pour des équations différentielles du type $F(x,y,\ldots,y^{(n)})G(x,y,\ldots,y^{(m)})=0$ ?
Outre la solution proposée par @JLT, on peut en trouver une dans le tome 7 des oraux x-ens p192.