$L_{\infty}$ sur un fibré localement trivial

Barjovrille

Bonjour, je suis en train de lire un papier "Agrachev Geometry of Optimal Control Problems and hamiltonian systems". J'ai un problème de définition. Soit $M$ une variété différentiable réelle de dimension $n$. Soit $V$ un fibré localement trivial au dessus de $M$. Soit $t_0,t_1 \in \mathbb{R}$, à la page 6 il dit on note $L_{\infty} ([t_0,t_1],V)$ l'ensemble des fonctions mesurable bornées (ici bornée veut dire que l'adhérence de l'image est compacte) de $[t_0,t_1]$ dans $V$, équipé avec la topologie de la convergence uniforme sur un sous ensemble de mesure plein de $[t_0,t_1]$.  Pour la structure de mesure je pense qu'il parle de la tribu des boréliens sur $V$ ?
Ensuite comme $V$ n'est pas équipé d'une distance je ne sais pas ce que c'est la topologie de la convergence uniforme.
J'ai pensé à plusieurs choix : 
1) Il parle de la topologie compacte ouverte ? https://en.wikipedia.org/wiki/Compact-open_topology
2) On essaye de mimer la définition de convergence uniforme avec des voisinages/ouverts ?
3) on peut faire apparaître des normes "locale" avec les trivialisation locale et faire des topologie de convergence uniforme localement ? (mais ça m'a l'air d'être le bazar je ne sais même pas si ce que je viens de dire à un sens). 

Je cite ce qu'il dit après peut-être que ça peut éclairer. "Comme $V$ est seulement une variété différentiable $L_{\infty}([t_0,t_1],V)$ possède naturellement une structure de variété différentielle de Banach modéliser (? modeled on) sur l'espace de Banach $L_{\infty}([t_0,t_1],\mathbb{R}^{dim(V)})$".

Si quelqu'un voit une explication ou même d'autre référence sur ces thèmes je suis preneur.

Georges Abitbol

Localement trivial, c’est pas dans la définition de fibré ?

Je précise que je n’ai aucune certitude sur ce que je vais dire, mais voici des idées (peut-être fausses, peut-être naïves) histoire de démarrer la discussion.

Les fibres de $V$ sont de dimension finie ? Si oui, peut-être que c’est sous-entendu qu’on les munit de normes quelconques et que le tout ne dépend pas (je ne sais pas si c’est vrai, bien entendu) du choix de ces normes…

Par exemple, de manière plus formelle, pour tout ouvert trivialisant, on choisit une famille continue (dépendant du point de base dans l’ouvert) de normes. Et donc, sur tout compact inclus dans un ouvert trivialisant, on définit la norme sup sur ce compact comme étant le sup ponctuel des normes. Avec un peu de chance, sur de tels compacts, l’équivalence ponctuelle de normes ponctuelles peut peut-être donner une équivalence uniforme sur le compact. Si c’est vrai, alors « être bornée sur un compact trivialisant » est une propriété ne dépendant plus du choix des normes ponctuelles.

Barjovrille

Merci pour ta réponse.

Georges Abitbol a dit :

Localement trivial, c’est pas dans la définition de fibré ?

Je crois qu'en Français oui, en anglais il y a "Fiber Bundle" et "Bundle"  le premier on a la condition localement trivial et le deuxième non.
En fait les fibres ne sont pas forcément des espaces vectoriels donc il y a un problème je pense ?
En fait au début du papier je viens de voir qu'il parle de variété Riemannienne il n'a pas repréciser dans la partie qui me pose problème mais je pense que $M$ est Riemannienne ici et du coup avec la surjection du fibré $\pi : V \to M$ on tire en arrière le tenseur métrique, et on fait une sorte de distance géodésique ? Je ne sais pas si ça marche bien je vais voir.

Ps : ton message ressemble un peu à ça https://en.wikipedia.org/wiki/Bundle_metric  c'est dans le cas des fibrés vectoriels.

Barjovrille

Bon ça me parait quand même bizarre de tirer en arrière une métrique par un truc qui n'est pas une immersion. Je pense que je vais me mettre dans le cas fibré vectoriel et essayer tes indications et la page wiki Bundle metric, je verrais bien si jamais un moment ça me bloque.

Georges Abitbol

Ah les fibres de ton fibré ne sont même pas des espaces vectoriels ? Je faisais comme si… Hum du coup j’en sais vraiment, vraiment rien…