Dissonance Cognitive : Un défi mathématique à tester !

PMF

Je vous propose un défi mathématique : tester un code qui explore les suites de Collatz transformées en Suites de Transformations Impaires (STI). L'objectif est d'examiner les 8 premiers termes de chaque STI, et de les considérer comme un segment exprimé selon les valeurs mod 16 de ces termes.

L'idée est simple : pouvez-vous trouver un couple \((k, b)\) qui génère un segment identique pour toutes les valeurs de \(x\) ? Un couple \((k, b)\) est non trivial si, pour l'expression \(i = 2^k \cdot x + b\), les segments mod 16 de la suite STI restent identiques pour toutes les valeurs de \(x\), et si ce couple couvre tous les impairs \(i\) possibles associés à ce segment.

Cela semble facile, mais il est en réalité presque impossible de trouver un couple non trivial du premier coup. Ce défi met en lumière une situation où nos intuitions mathématiques échouent.

Exemple basique avec \( i = 27 \) :

1. Suite Collatz standard de 27 (jusqu'à 121) :

   $27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, \dots$

2. STI de \( i = 27 \) :

   $[27, 41, 31, 47, 71, 107, 161, 121]$

3. Segment \( L = 8 \) de cette STI mod 16 :

  $11 \rightarrow 9 \rightarrow 15 \rightarrow 15 \rightarrow 7 \rightarrow 11 \rightarrow 1 \rightarrow 9$

   Le couple non trivial qui produit ce segment est \( k = 13 \) et \( b = -8165 \). Par exemple :

   $27 = 2^{13} \cdot 1 - 8165$

4. Comparaison avec des couples triviaux :

- \( k = 5, b = -5 \)

- \( k = 17, b = -131045 \)

Vous pouvez essayer de trouver un couple \((k, b)\) non trivial, mais c'est pratiquement impossible sans vous tromper. Si vous êtes curieux, vous pouvez me demander le bon couple \((k, b)\) pour un segment donné (que le code affichera), et je vous fournirai la solution. Vous n'aurez qu'à entrer ce couple dans le code pour voir que c'est le bon.

C'est par contre la seule chose que je publierai, pour éviter "le verbiage non mathématique" et pour vous faire comprendre que cette expérience touche à une dissonance cognitive. Elle vous fait réaliser que ce qui semble à première vue sans valeur mathématique en a peut-être un, mais que cela peut déranger parce que venant de l'extérieur - et n'est-ce pas d'ailleurs le propos du SHTAM, qui est "maths" à l'envers ? Une manière peut-être de nous rappeler que parfois, pour comprendre, il faut retourner les choses...

Le code joint est à copier dans :
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https://www.programiz.com/online-compiler/42EEZM4KyfLx0