Un nouveau théorème sur les nombres premiers

Poirot

Bonjour à tous,

Je ne peux m'empêcher de vous partager une nouvelle avancée faite par Ben Green (notamment connu pour le théorème de Green-Tao) et Mehtaab Sawhney, sortie aujourd'hui : https://arxiv.org/pdf/2410.04189

Dans le papier, hautement technique évidemment, ils démontrent l'existence d'une infinité de nombres premiers de la forme $p^2 + nq^2$ avec $p$ et $q$ premiers, dès que $n \in \mathbb N^*$ est congru à $0$ ou $4$ modulo $6$.

La recherche en théorie analytique des nombres a encore de beaux jours devant elle.

JLapin

Merci pour l'information.

Rappelons à cette occasion l'existence de cet excellent ouvrage

https://www.math.utoronto.ca/~ila/Cox-Primes_of_the_form_x2+ny2.pdf

querty

coule  $ p^2+n\cdot q^2  =p_a $  Cela veut dire qu'il y a un trou pour p et que $ nq^2 $ vient le boucher sans en rajouter. Si je représente la signature de  $p_a$ voir https://vixra.org/pdf/2206.0068v1.pdf

Sylvain

Merci Poirot pour ce partage. Question de quasi-béotien : est-ce un cas particulier de la conjecture de Dickson ?

Poirot

Non, la conjecture de Dickson concerne la primalité simultanée de formes linéaires en une variable (sous des hypothèses nécessaires de congruences). Même les généralisations en plus haut degré du style Bunyakowski ou Schinzel ne parlent que de valeurs polynomiales en une variable.

Le résultat du papier est différent en deux aspects : il y a deux variables, et l'on impose de plus que celles-ci soit elles-mêmes premières.

Sylvain

Merci pour ces précisions.

depasse

Bonjour,
Sait on s'il existe une infinité de premiers de la forme $p^2+2q^2$ avec $p$ et $q$ eux aussi premiers?
Un peu de culture ne nuit pas. 
Merci
Paul

depasse

Oups, $3$ divise $p^2+2q^2$ si $p$ et $q$ sont premiers impairs distincts de $3$. Il ne reste qu'à envisager trois cas:
1)$p^2+8$ 
2)$p^2+18$ 
3)$2p^2+9$
Edit: le cas 1) est vite réglé: seul $17$ est solution.
les cas 2) et 3): voir oeis A201613.

Math Coss

La presse en parle : Courrier international, qui reprend New Scientist.

Boécien

"Cela faisait vingt-cinq ans qu’aucune avancée n’avait été réalisée dans la connaissance des fascinants nombres premiers. " Tout de même en 2013, Yitang Zhang, mathématicien à l'Université du New Hampshire, réalise une percée majeure en théorie des nombres en démontrant qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers séparés par une distance finie (initialement bornée à 70 millions puis améliorée ensuite).

Math Coss

Oui, d'ailleurs l'original en anglais ne dit pas cela mais parle de « first breakthrough in finding prime numbers for over 25 years ». Pas sûr que ce soit tout à fait juste non plus mais on peut considérer que les travaux de Yitang Zhang et successeurs ne rentrent pas tout à fait dans cette description.

JLapin

Il y a eu quoi de si marquant il y a environ 25 ans du coup ?

Heuristique

L'algorithme polynomial pour savoir si un nombre est premier, au moins.