Ma première question sur le mouvement brownien

Sn

Bonsoir,

Je me permets de vous écrire, peut-être pour une question anecdotique, car je ne parviens pas à montrer l'inclusion surlignée : 



En effet, j'ai bien essayé de jouer avec plusieurs de mes propriétés, mais cela ne fonctionne pas.
En fait, même par l'intuition, je ne vois pas pourquoi cette inclusion est vraie.

Respectueusement,

Barjovrille

Bonjour,

Si tu remarque que $W_t:=t \mapsto B_{1+t} - B_1$ c'est aussi un mouvement brownien standard, grâce au petit 1) tu sais que $sup W_t$ est à valeur dans $\{0,+ \infty\}$. 

Ce que tu veux montrer est équivalent à montrer $\{B_1>0\} \cup \{sup_{t \geq 0} W_t \neq 0 \} \subset \{Z \neq 0 \}$.

Soit $\omega \in \{B_1>0\} \cup \{sup_{t \geq 0} W_t \neq 0 \}$.

a) si $B_1(\omega)>0$, tu peux montrer que $ sup_{t \geq 0}W_t (\omega) + B_1(\omega) \leq Z(\omega)$ donc $Z(\omega) > 0$. (car $sup W_t$ est à valeur dans $\{0,+ \infty\}$).

b) Si $sup_{t \geq 0} W_t (\omega) \neq 0 $, alors $sup_{t \geq 0} W_t (\omega) = + \infty$ donc il existe $t_0 \geq 0$ tel que $W_{t_0}( \omega) > -B_1 (\omega)$ avec la même inégalité que a) tu peux conclure que $Z (\omega) >0 $

Math Coss

Pas de majuscule à mouvement ni à brownien (pas plus qu'à cartésien, euclidien, laplacien, etc. (et ce, quoi que pense l'auteur de la référence scannee).

Sn

Merci beaucoup Barjovrille !  Comme toujours !

J'en prends bonne note Math Coss.

lourrran

En fait, même par l'intuition, je ne vois pas pourquoi cette inclusion est vraie.

J'aime beaucoup cette réflexion, bravo.

Quand on cherche à prouver un truc, on passe par plusieurs étapes. Une des étapes est d'essayer de se positionner : 

• ah bon, ce truc est vrai ?
• Oui, ce truc a l'air d'être vrai, démontrons le.
• Oui, ce truc semble 'évident', mais comment le démontrer.

Je vois trop de questions où des gens doivent démontrer un truc, mais n'essayent même pas de se positionner, ça ne leur traverse même pas l'esprit.
Et si par hasard il y a une erreur dans l'énoncé, ils vont rester bloqués des heures. 

Sn

Merci Lourrran