Série de fonctions

Hypocrates

Une série convergente de fonctions positives dérivables et de dérivées positives qui est dérivable est-elle de dérivée positive somme de la série des dérivées ?

Renart

Non.  Prend par exemple $f_n : x \mapsto \frac{1}{n^2} \arctan(2^n x)$, un rapide calcul te montre que, en $0$ la dérivée de $f_1+\ldots+f_n$ tend vers $+\infty$. Ceci implique que la somme de la série n'est pas dérivable en $0$.

Cependant ton énoncé est vrai presque partout, c'est un théorème de Fubini, parait-il.

Hypocrates

La série $\sum_n f_n$ est-elle dérivable ? Je suppose que oui partout. Est-ce que cela implique qu'elle est somme des dérivées ? 

Hypocrates

Est-ce que cela implique que la dérivée est somme des dérivées ? 

Renart

Ok, du coup ça ne colle pas avec ce que j'ai dit. Qu'est-ce que tu as essayé de faire pour ton problème ?

JLapin

Hypocrates a dit :  ..... est-elle de dérivée positive somme de la série des dérivées ?

Je ne comprends pas très bien la fin de la question. Je tente une reformulation.

Soit $\sum f_n$ une série de fonctions que l'on supposera définies sur $\R$. On suppose que chaque fonction $f_n$ est positive, dérivable, que chaque fonction $f_n'$ est positive, que la série $\sum f_n$ converge simplement, que la somme $S = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$ est dérivable.

Question :  a-t-on $$\forall x\in \R, S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n'(x)$$ ?

Notons que le membre de droite a un sens dans $[0,+\infty]$.

Hypocrates

JLapin a dit :

Hypocrates a dit :  ..... est-elle de dérivée positive somme de la série des dérivées ?

Je ne comprends pas très bien la fin de la question. Je tente une reformulation.

Soit $\sum f_n$ une série de fonctions que l'on supposera définies sur $\R$. On suppose que chaque fonction $f_n$ est positive, dérivable, que chaque fonction $f_n'$ est positive, que la série $\sum f_n$ converge simplement, que la somme $S = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$ est dérivable.

Question :  a-t-on $$\forall x\in \R, S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n'(x)$$ ?

Notons que le membre de droite a un sens dans $[0,+\infty]$.

Oui, c'est bien le sens de ma question. 

bisam

Pour tout $x_0\in\R$ et tout $x\neq x_0$, on peut commencer par écrire que pour tout $N\in\N$ : \[\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\geq \sum_{n=0}^{N}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\] car tous les taux d'accroissement des fonctions $f_n$ sont positifs.

Par passage à la limite lorsque $x$ tend vers $x_0$, on en déduit que $\displaystyle \forall N\in\N, S'(x_0)\geq \sum_{n=0}^{N}f_n'(x_0)$ et puisque c'est une série à termes positifs, on en déduit que la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geq 0} f_n'$ converge simplement sur $\R$.

Il reste savoir si sa somme est bien égale à $S'$.

JLapin

Si on prend $f_n(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} - \dfrac{x^{n+2}}{n+2}$ sur $[0,1]$, la série $\sum f_n$ converge et $$\forall x\in [0,1], \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)=x.$$

De plus, chaque $f_n$ est positif, dérivable et $f_n'(x) = x^n - x^{n+1}\geq 0$.

Enfin, la série $\sum f_n'$ a pour somme la fonction qui vaut $1$ sur $[0,1[$ et $0$ en $1$, qui n'est pas la dérivée de la fonction $x\mapsto x$.

bisam

Joli contre-exemple ! 👍

Hypocrates

Y a-t-il un contre-exemple si on suppose $\sum_n f'_n$ continu ?

Hypocrates

En fait non, il suffit d'intégrer la série des dérivées.