Soddy

Bonjour,

Le théorème d'Urquhart demandé par @GG dans un autre fil m'a donné la curiosité de regarder la configuration suivante:
On trace les trois ellipses (rouges) de foyers deux sommets du triangle $ABC$ et passant par un troisième. De même pour les trois hyperboles vertes.
Alors, les ellipses se coupent deux à deux sur les hyperboles.
De plus les trois hyperboles ont deux points en commun qui sont $F_1=X_{175}$ et $F_2=X_{176}$.
Ces deux points sont les foyers d'une ellipse circonscrite (magenta) de perspecteur $X_7$ aligné avec eux (et avec le centre $I$ du cercle inscrit) sur la droite de Soddy.
D'ailleurs, existe-t-il d'autres coniques circonscrites dont le perspecteur est sur l'axe focal ?

Cordialement,
Rescassol

Réponses

  • Bonjour, @Rescassol,
    Qu'appelles-tu "perspecteur" d'une ellipse circonscrite ? Merci !
    Bien amicalement, JLB
  • Rescassol
    Modifié (October 2024)
    Bonjour,

    Une conique circonscrite a toujours une équation barycentrique de la forme $pyz+qzx+rxy=0$.
    le perspecteur est alors le point $P=[x;\space y;\space z]$. 

    Cordialement,
    Rescassol

    Edit C'est plutôt $P=[p;\space q;\space r]$. Merci Gai Requin.
  • Vassillia
    Modifié (October 2024)
    Bonjour, si je peux me permettre une autre définition qui te parlera peut-être plus @jelobreuil comme les calculs ce n'est pas trop ton truc.
    Pour une conique circonscrite à $A$, $B$ et $C$ tu peux tracer les tangentes en $A$, $B$ et $C$, leurs intersections forment un triangle $A_PB_PC_P$ en perspective avec $ABC$ c'est à dire que les droites $(AA_P)$, $(BB_P)$ et $(CC_P)$ sont concourantes en un point $P$ appelé le perspecteur.
    D'ailleurs, je ne suis pas sûre de comprendre la question, il y a une conique circonscrite pour n'importe quel perspecteur qu'il soit sur l'axe focal ou ailleurs, non ?

    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Merci @Rescassol et @Vassillia de vos réponses ! Effectivement, celle de Vassillia me parle plus ... Bref, il s'agit du centre de perspective du triangle de base et du triangle tangentiel.
    Et d'après cette définition, Vassillia, c'est plutôt l'inverse, à chaque conique circonscrite correspond un perspecteur qui n'est pas forcément sur l'axe focal ... Ce n'est pas le perspecteur qui détermine la conique, comme ta formulation pourrait le laisser croire ...
    Bien cordialement, JLB
  • Vassillia
    Modifié (October 2024)
    En effet, je suis d'accord avec toi, le perspecteur n'est pas forcément sur l'axe focal pour n'importe quelle conique circonscrite. Mais on peut prendre n'importe quel point, décider que c'est le perspecteur et associer la conique circonscrite correspondante. Tu peux jouer avec https://www.geogebra.org/classic/rpa5uxvz
    Je pense qu'il y a une autre condition à laquelle devait penser Rescassol mais je ne sais pas laquelle.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • @Rescassol : c’est pas plutôt $P=(p:q:r)$ ?
  • Rescassol
    Modifié (October 2024)
    Bonjour,

    $P=[x;\space y;\space z]$ et $P=(p:q:r)$ sont deux notations désignant la même chose:
    Un point virgule pour les points (colonne) et une virgule (ou une espace) pour les droites (ligne).
    Je préfère utiliser la première, qui correspond au glossaire de Pierre, et à la syntaxe de Matlab.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Oui mais ton perpecteur est faux quelle que soit la notation adoptée.
  • Rescassol
    Modifié (October 2024)
    Bonsoir,

    Ah ben oui !! je voulais dire $P=[p;\space q;\space r]$. J'ai corrigé.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (October 2024)
    Bonsoir,

    Pour ma question, je vais la poser autrement:
    Quel est le lieu des point $P$ tel que l'axe focal de la conique de perspecteur $P$ passe par $P$ ?
    Ce lieu contient entre autres le point de Gergonne $X_7$, d'après mon premier message..

    Cordialement,
    Rescassol

  • Vassillia
    Modifié (October 2024)
    Merci Rescassol, c'est plus clair ! 
    Je suis partie en barycentriques comme la caractérisation par le perspecteur me semble quand même s'y prêter.
    Première tentative sans réfléchir : force brute avec les ombilics pour trouver les foyers mais l'ordinateur m'a envoyé promener. Il a une circonstance atténuante, les ombilics sont horribles en barycentriques

    Deuxième tentative : calcul du point gudulique $G_u \simeq \left(-{\left(b^{2} p - a^{2} q\right)} {\left(c^{2} p - a^{2} r\right)}:\,{\left(b^{2} p - a^{2} q\right)} {\left(c^{2} q - b^{2} r\right)}:\,-{\left(c^{2} p - a^{2} r\right)} {\left(c^{2} q - b^{2} r\right)}\right)$, le 4ème point d'intersection entre le cercle circonscrit et la conique circonscrite.
    Puis les deux axes $d_i$ qui passent par le centre $\simeq \left(-{\left(p - q - r\right)} p:\,{\left(p - q + r\right)} q:\,{\left(p + q - r\right)} r\right)$ de la conique et qui ont pour direction les bissectrices de $(\widehat{BC,AG_u})$. Pour cela, on peut utiliser une paramétrisation pour la direction de $d_i$ et résoudre $tan( \widehat{BC,d_i})+tan( \widehat{AG_u,d_i})=0$.

    Ouf, ça passe mais évidemment il y a des racines et impossible de différencier les 2 axes. Tant pis, il ne reste plus qu'à forcer le point $P$ à appartenir à un axe tout simplement par $d_i\cdot P=0$ et voilà enfin une équation (moche évidemment). 
    En multipliant les deux équations obtenues, entre autre pour virer les racines, et en simplifiant les cas dégénérés, on trouve une quintique pas si moche (pour une quintique) $-c^{2} x^{3} y^{2} + c^{2} x^{2} y^{3} + a^{2} x^{2} y^{2} z - b^{2} x^{2} y^{2} z + b^{2} x^{3} z^{2} - a^{2} x^{2} y z^{2} + c^{2} x^{2} y z^{2} + b^{2} x y^{2} z^{2} - c^{2} x y^{2} z^{2} - a^{2} y^{3} z^{2} - b^{2} x^{2} z^{3} + a^{2} y^{2} z^{3}=0$

    Ce n'est pas tout à fait la réponse attendue puisque c'est le lieu où le perspecteur appartient à l'un des axes et pas forcément l'axe focal mais difficile d'avoir mieux. 
    Remarque : ma figure geogebra précédente a été modifié pour mettre le perspecteur sur ce lieu.


    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Bonjour,

    Merci Vassillia. Ça a l'air plus compliqué que je ne prévoyais.
    Je regarderai plus en détail cet après-midi.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour, $\def\etc{,\:\mathrm{etc}}$ 
    Soddy, the whole saga:
    1. L'axe de Soddy est la droite qui passe par X(1) [incircle], X(7) [Gergonne], X(20) [Longchamps], X(175) et X(176) [Soddy focuses], 516 [infinity]. En tout 360 points sur ETC.
    2. La conique de Soddy est la circumconique dont le perspecteur est X(7). Le centre est X(3160). Le point gudulic est X(927). Les directions des axes sont X(516) et X(514), les foyers sont X(175) and X(176).... sur l'axe de Soddy.
    3. Le cercle "not so Soddy" nssA est le cercle $\left(A,a\right)\etc$. Et l'orthogonal commun de ces cercles est le cercle de Longchamps $a^{2}:b^{2}:c^{2}:1$
    4. L'ellipse de Soddy lipA passe par $A$ avec pour foyers $B,C\etc$. L'hyperbole de Soddy hypA passe par $A$ avec pour foyers $B,C\etc$.
    5. Les quatre intersections $\mathrm{lipA}\cap\mathrm{hypA}$ sont $W_{a,1}=A$ et $W_{a,2}$ sur la branche de $A$ et $W_{a,3},W_{a,4}$ sur l'autre branche, celle de $G_{a}$, le cévien du Gergonne X(7). Les deux derniers sont sur $\mathrm{nssB},\mathrm{nssC}$ et en prime $W_{a,3}$ est sur le circonscrit.

    Cordialement, Pierre
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.