Trois moyennes entières pour une fin de semaine

Chaurien

$~~~~~~$ Il m'est revenu un problème que je m'étais posé naguère,$~~$ et qu'on pourrait poser à nos élèves de Terminale en $~~~$  « mathématiques-expertes », si j'ai bien compris l'usine à gaz de l'organisation de  l'enseignement secondaire actuel. 

Le couple d'entiers $(10,90)$ a ses moyennes : arithmétique, géométrique, harmonique, qui sont des nombres entiers. Quels sont les couples d'entiers positifs (distincts, bien sûr) qui ont la même propriété ?

Bonne fin de semaine.

Fr. Ch.

Vendredi 04/10/2024

Domi

Et oui , c'est bien toi qui t'es posé la question et pas le contraire
Domi

Chaurien

https://www.projet-voltaire.fr/regles-orthographe/eh-bien-ou-et-bien/

Soc

AD, sors de ce corps!

JLT

Je trouve $a=tz(z+x)$ et $b=tz(z-x)$ où $(x,y,z)$ est un triplet pythagoricien ($x^2+y^2=z^2$).

jandri

J'ai obtenu une autre formulation (sans utiliser les triplets pythagoriciens) mais cela donne les mêmes solutions : 

$a=tp^2(p^2+q^2)/2$ et $b=tq^2(p^2+q^2)/2$ avec $t$ multiple de $4$ quand $p-q$ est impair.

Les plus petites solutions sont $(5,45)$ et $(10,40)$.

gai requin

La condition de @JLT est suffisante, montrons qu'elle est nécessaire.
Soit donc $(a,b)$ un tel couple.
$a$ et $b$ ont même parité donc il existe $Z,X,Y$ tels que $a=Z+X$, $b=Z-X$ et $X^2+Y^2=Z^2$.
Soit alors $T=\mathrm{pgcd}(X,Y,Z)$ et $x,y,z$ tels que $X=Tx$, $Y=Ty$ et $Z=Tz$.
On a $x^2+y^2=z^2$ et la moyenne harmonique de $a,b$ vaut $Ty^2/z$.
Or, $z$ et $y^2$ sont premiers entre eux donc il existe $t$ tel que $T=tz$.
Donc $a=tz(z+x)$ et $b=tz(z-x)$.

JLT

Remarque : la symétrie $(x,y,z)\mapsto (y,x,z)$ entraîne que si $(a,b)$ est un triplet solution alors $\varphi(a,b)=(\frac{a+b}{2}+\sqrt{ab},\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab})$ aussi. De plus $\varphi$ est une involution de l'ensemble des couples $(a,b)$ solution avec $a\geqslant b$.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Pour intégrer la moyenne quadratique $\sqrt\frac{a^2+b^2}{2}$, il faudrait que $2x^2+y^2$ soit aussi un carré.

Chaurien

Soient deux nombres entiers strictement positifs distincts $x$ et $y$. On cherche les conditions pour que les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de $x$ et $y$ soient des nombres entiers. 

Pour les deux premières moyennes, arithmétique et géométrique, c'est évident, alors je préfère chercher la condition pour la troisième, harmonique. Je considère le PGCD $d= x \wedge y$, d'où $x=kd$,$y=hd$, $k\wedge h=1$. Il vient : $2khd=\lambda (k+h)$, $\lambda \in \mathbb N^*$, et comme $(k+h) \wedge kh=1$, on conclut avec deux cas selon les parités de $k$ et $h$.

Pour la moyenne arithmétique entière, à l'évidence les entiers $x$ et $y$ doivent être de même parité et pour la moyenne géométrique entière, les entiers $k$ et $h$ doivent être des carrés : $k=k'^2$, $h=h'^2$. On obtient les solutions sans faire intervenir les  triplets pythagoriciens.

Si l'on exige de  plus que la moyenne quadratique soit elle aussi un nombre entier, dans un des cas je tombe sur $k'^4+h'^4=2q^2$, qui n'a pas de solution non triviale. Il faut que je regarde l'autre cas, mais je suis pessimiste.

Ou alors il faut renoncer à la moyenne géométrique entière.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Chaurien

Si l'on ne veut que les moyennes arithmétique, harmonique et quadratique entières, on tombe sur l'équation diophantienne $k^2+h^2=2q^2$ qui a une famille infinie de solutions, analogue aux triplets pythagoriciens. 

Par exemple, le couple $(4,28)$ a ces trois moyennes entières, mais non la moyenne géométrique, hélas !