Proposition sur l'espérance conditionnelle discrète

posix968

Dans un polycopié d'agreg, pour motiver la succession de deux définitions dans deux cas différents il est écrit que si $X$ est de carré intégrable et $Y$ discrète alors $E[X|Y]$ est aussi de carré intégrable. En utilisant l'inégalité d'Holder, le cas où Y possède un support de cardinal fini se traite rapidement. Je n'arrive cependant pas à m'affranchir de cette hypothèse sur $Y$, une idée ? Je peux passer par le TCM et les fonctions étagées ?

Bibix

Je ne vois pas pourquoi ce serait faux si $Y$ n'est pas discret. De toute façon, si $X \in L^2$, alors $Z^* = \mathbb{E}[X \mid Y]$ minimise $\mathbb{E}[(X - Z)^2]$ dans l'ensemble des v.a. $\sigma(Y)-$mesurables, non ? Ça n'implique pas que l'espérance conditionnelle soit dans $L^2$ ?

posix968

Dans l'évolution du polycopié, l'espérance conditionnelle n'a été défini que dans le cadre des variables aléatoires discrètes. L'objectif est d'opérer une transition vers l'espérance conditionnelle dans le cas des variables de carré intégrable. De plus, pour conclure que les deux notions coincident après, il me semble que je dois dans tout les cas montrer ce que j'ai dis plus haut. La formule discrète de l'espérance conditionnelle est $E[X | Y] = \phi(Y)$ où $\phi$ est défini de $E = \text{Im}(Y)$ dans $\mathbb{R}$ et vaut 0 sur les $y$ tel que $\mathbb{P}(Y = y) = 0$ et $E(X|Y = y)$ ailleurs.

Foys

La réponse va dépendre de comment est définie $E( .| .)$, mais étant données $\mathcal A, \mathcal B$ deux tribus sur l'espace ambiant telles que $\mathcal A \subseteq \mathcal B$, lorsque $E(. | \mathcal A)$ est défini comme la projection orthogonale de l'espace de Hilbert $L^2(\mathcal B, \R)$  sur son sous-espace fermé $L^2(\mathcal A,\R)$, l'inégalité en question est évidente.

posix968

Oui c'est immédiat dans le cas où l'espérance conditionnelle est définie comme projection orthogonale mais j'aimerais le montrer dans le cas discret.

Positif

Exactement tu utilises le TCM appliqué aux fonctions $X_n = \min ( X, n )$. Tu supposes dans un premier temps que $X$ est positive. L'espérance conditionnelle comme projection orthogonale existe pour chaque $X_n$. Puis on traite le cas $X$ juste intégrable en séparant partie positive et partie négative.

Foys

@posix968 a écrit:

Oui c'est immédiat dans le cas où l'espérance conditionnelle est définie comme projection orthogonale mais j'aimerais le montrer dans le cas discret.

Tant qu'on ne sait pas qui est $E(.|.)$ ou qu'on a aucun axiome sur elle dans ta phrase on ne peut pas répondre.

Barjovrille

Je pense qu'il parle de cette définition $ \displaystyle E(X|Y):= \sum_{y_i \in Y(\Omega)}  \frac{E(X1_{Y=y_i})}{P(Y=y_i)} 1_{Y=y_i}$ moi je suis bloqué.

Foys

Avec cette définition on obtient assez vite $E(Z E(X|Y))$ = $E(ZX)$ pour toute variable aléatoire $Z$ bornée et $\sigma(Y)$-mesurable.

Si $X$ est elle-même bornée (et donc aussi $E(X|Y)$), puisque $E(X|Y)$ est $\sigma (Y)$-mesurable, on en déduit, à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que $E(E(X|Y)^2) = E(XE(X|Y)) \leq \sqrt{E(X^2) } \sqrt {E(E(X|Y) ^2)}$ et (lorsque $E(E(X|Y)^2) $ est non nul sans quoi le résultat visé est évident) on divise les deux membres de cette inégalité par

$\sqrt {E(E(X|Y) ^2)}$ pour trouver le résultat voulu.

Si $X$ n'est pas bornée on approche $X$ par des fonctions bornées comme dans d'autres fils du même type.

Barjovrille

C'est le cas non borné qui m'intéresse, on ne peut plus utilisé ta stratégie qui fait intervenir $E(E(X|Y)^2)$ dans la majoration non ? 
Avec la formule que j'ai mise on a $\displaystyle E(E(X|Y)^2)"=" \sum_{y_i \in Y(\Omega)}  \frac{(E(X1_{Y=y_i}))^2}{P(Y=y_i)^2} P({Y=y_i})$ il faut un truc plus serré que Cauchy Schwarz pour s'en sortir je pense.

Foys

@Barjovrille soit $X$ non bornée mais positive. Soit $X_n:= \min(n, X)$. Alors le théorème de convergence monotone entraîne que $E(X_n)^2 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} E(X^2)$, $E(X_n | Y) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} E(X | Y)$ (convergence simple: avec la définition de $E(.|Y)$ dans le cas discret) et enfin, $E\left ( E(X_n|Y)^2\right ) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} E\left (E(X|Y)^2 \right)$. Le cas positif se déduit donc du cas borné par des passages à la limite et le théorème de convergence monotone.

Cas $L^1$ général:

On pose $X_+:= \max(X,0)$, $X_-:= \max(-X,0)$, de sorte que $X = X_+ - X_-$. Si $X$ est $L^1$, $X_+$ et $X_-$ le sont aussi et $E(|X|) = E(X_+)+E(X_-)$, $E(X) = E(X_+) - E(X_-)$. Enfin, pour tout $\omega \in \Omega$, l'un des deux nombres $X_+(\omega), X_-(\omega)$ est par définition toujours nul, ce qui entraîne notamment que $X_+^2 + X_-^2 = X^2$
D'autre part on a $-|X|\leq X \leq |X|$ qui entraîne les inégalités $-E(|X| \mid Y) \leq E(X | Y) \leq E(|X| \mid Y)$ et donc $\left | E(X | Y)\right| \leq E(|X| \mid Y)$ puis $E(X | Y)^2 \leq E(|X| \mid Y)^2$.

On a alors $$\begin{align} 2E\left (E(X|Y)^2 \right) & = E\left ( E(X|Y)^2 + E(X| Y)^2 \right)
\\ & \leq E \left ( E(X|Y) ^2 + E(|X| \mid  Y) ^2\right)
\\ & = E \left ( E(X_+ - X_- | Y)^2 + E(X_+ + X_- | Y)^2  \right)
\\ & = E\left (E(X_+|Y)^2 + E(X_-|Y)^2  - 2 E(X_+ |Y) E(X_-|Y) + E(X_+|Y)^2 + E(X_-|Y)^2  + 2 E(X_+ |Y) E(X_-|Y) \right)
\\ & = E\left ( 2 E(X_+ | Y)^2 + 2 E(X_- | Y)^2 \right) = 2 E \left ( E(X_+|Y)^2 \right) + 2E \left ( E(X_-|Y)^2\right)
\\ & \leq 2 E(X_+^2) + 2E(X_-^2) = 2E(X_+^2 + X_-^2) = 2E(X^2)
\end{align}$$

On obtient l'inégalité voulue en divisant tout ceci par $2$.

Barjovrille

@Foys pour le cas positif, pourquoi si $E\left ( E(X_n|Y)^2\right ) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} E\left (E(X|Y)^2 \right)$ alors $E\left (E(X|Y)^2 \right) < \infty$ ?

Foys

@Barjovrille on est dans les conditions d'application du théorème de convergence monotone, qui dit que pour toute suite croissante $(f_n)_{n \in \N}$ de fonctions mesurables de $\Omega$ dans $[0,+\infty]$, $\int \sup_{n\in \N} f_n = \sup_{n\in \N} \left (\int f_n \right)$ , que ces sups soient finis ou non. C'est ça qui est utilisé ici.

Barjovrille

@Foys je vais essayer de reformuler ma question, ici ta stratégie (si j'ai bien compris) c'est 1) prouver dans le cas $X$ positif que $E(E(X|Y)^2)< \infty$ 2) utiliser 1) pour démontrer le cas général. Ce que je n'arrive pas à comprendre pour le cas positif c'est pourquoi après ce que tu as écrit on peut conclure que $E(E(X|Y)^2)< \infty$

Foys

@Barjovrille: dans le cas où $X$ est positive, seul le cas où $E(X^2)<+\infty$ peut poser problème; sinon l'inégalité $E(E(X|Y)^2) \leq E(X^2)$ est trivialement vérifiée, que $E(E(X|Y)^2)$ soit finie ou non (*).

Mais lorsque $E(X^2)<+\infty$, on a également pour tout entier $n\in \N$ (avec $X_n:= \min(n;X)$), $E(E(X_n |Y)^2) \leq E(X_n^2) \leq E(X^2)<+\infty$ et cela entraîne, comme la suite de fonctions $n \mapsto E(X_n|Y)^2$ est p.s. croissante, par le théorème de convergence monotone que $E(E(X|Y)^2) = \lim_\limits{n \to +\infty} E(E(X_n|Y)^2)$ est inférieure à $E(X^2)$.

Sauf que cette inégalité et ce passage à la limite sont valables dans tous les cas, que les intégrales soient finies ou non et donc la distinction de cas (*) était en fait superflue.

Barjovrille

Foys a dit :

$n\in \N$ (avec $X_n:= \min(n;X)$), $E(E(X_n |Y)^2) \leq E(X_n^2) \leq E(X^2)<+\infty$

@Foys C'était ça qu'il me manquait (la première inégalité) (alors que tu l'avais écrite suite à mon premier message...) merci pour tes explications et ta patience.

posix968

Merci pour vos réponses et explications !