$n^3$ petits cubes

Cidrolin

Avec $n^3$ petits cubes blancs on construit un cube de côté $n$. On peint en rouge $4$ faces de ce cube, les $2$ faces non peintes sont adjacentes. On désigne par $u_n$ le nombre de cubes (parmi les $n^3$) ayant au moins une face rouge. Par exemple $u_1=1$, $u_5=77$.

On considère enfin $(v_n)_{n \in \N^*}$ la suite complémentaire de $(u_n)_{n \in \N^*}$ :   tout entier strictement positif est soit un $u_n$, soit un $v_n$, jamais les deux. Par exemple $v_3=4$, $v_9=11$.

Montrez que : $\quad v_{u_{n-1}}-4n^2+12n$  ne dépend pas de $n$.

jandri

C'est (très) simple car c'est équivalent à : 

$v_{u_n}=u_n+n$

jandri

J'ai généralisé le résultat proposé par @Cidrolin  de la façon suivante.

Soit $(u_n)$ une suite d'entiers telle que $u_1=1$ et pour tout $n\geq2$ : $u_n\geq u_{n-1}+n$.

Soit $(v_n)$ sa suite complémentaire obtenue par énumération de $\N^*\setminus u(\N^*)$.

On a alors pour tout $n\in\N^*$ : $v_{u_n}=u_n+n$ (la démonstration est simple).

Cela s'applique aux suites $u_n=a\dfrac{n(n+1)}2+bn+c$ où $a,b,c$ sont des entiers tels que $a\geq1$, $2a+b\geq2$ et $a+b+c=1$.

Par exemple $u_n=n^2$, $u_n=\dfrac{n(n+1)}2$ ou la suite de Cidrolin.