Normalisateur

un_kiwi

Bonjour,

Soient $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ ; on définit

$N_G(H):=\{ g\in G\ ;\ \forall h\in H,\ ghg^{-1}\in H\}$.

Je cherche à montrer que $N_G(H)$ est un sous-groupe de $G$. Il est clair que $N_G(H)$ contient bien $1_G$ et j'ai vérifié que $N_G(H) $ est bien stable pour la loi induite par celle de $G$. Mais j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je n'arrive pas à montrer que $N_G(H)$ est stable par passage à l'inverse... J'ai essayé de partir de $g^{-1}hg$, de raisonner avec les éléments de la forme $h^{-1}$, retraduire en écrivant $gHg^{-1}\subset H$, $gH\subset Hg$, ou encore $H\subset g^{-1} Hg$, impossible de conclure...

Merci d'avance pour votre aide

JLT

La vraie définition du normalisateur est celle-ci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Normalisateur

Ta définition n'est correcte que si $H$ est fini.

Médiat_Suprème

L'inverse d'un élément de $H$ est dans $H$

JLT

Exemple : soit $G$ le groupe des transformations affines de $\R$, c'est-à-dire des applications $f_{a,b}(x)=ax+b$ pour $(a,b)\in \R^*\times \R$. Soit $H=\{f_{1,n}\mid n\in \Z\}$ et $g=f_{2,0}$. Alors $gHg^{-1}\subset H$ mais $g^{-1}Hg\not\subset H$.

un_kiwi

Ok c'est donc une erreur. Merci pour le contre-exemple, je le garde précieusement.

Dans le lien wikipedia, pour montrer que $N_G(H)$ est bien un sous-groupe de $G$, on raisonne directement sur les ensembles. Peut-on raisonnablement s'accorder ce "raccourci" au lieu de raisonner par double-inclusion ?

JLT

Peut-on ou non, ça dépend pour qui est écrite la démonstration.