Avec le point O

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

la figure, puis l’énoncé

1. ABC un triangle,

2. (O), (I ) les cercles circonscrit, inscrit

3. P le pied de la perpendiculaire à (BI) issue de A

4. Q le second point d’intersection du cercle de diamètre [AI] avec (O)

5. R  le point d’intersection de (QP) et (AB).

Question : (IR) passe par O.

Je n’ai pas de solution synthétique…

Sincèrement

Jean-Louis

jelobreuil

Bonjour Jean-Louis,

Merci pour ce nouveau problème  !

Voici ta figure :

En toute amitié, Jean-Louis B.

Rescassol

Bonjour,

% Jean-Louis Ayme - 27 Septembre 2024 - Avec le point O

% 1ABC un triangle,
% (O), (I ) les cercles circonscrit, inscrit
% P le pied de la perpendiculaire à (BI) issue de A
% Q le second point d’intersection du cercle de diamètre [AI] avec (O)
% R le point d’intersection de (QP) et (AC).

% Question : (IR) passe par O.

clc, clear all

syms a b c % Longueurs des côtés du triangle ABC

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

% Centres des cercles cironscrit et inscrit
O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; I=[a; b; c];
BI=Wedge(B,I); % BI=[c, 0, -a]
AP=SimplifieBary(DroiteOrthogonaleBary(A,BI,a,b,c)); % AP=[0; c; c-a]
P=Wedge(BI,AP); % P=[a; a-c; c]
Q=[a^2*t*(t+1); b^2*(t+1); -c^2*t]; % Un point Q du cercle circonscrit
NulQ=Factor(Cocycliques(A,I,P,Q,a,b,c)); % P est aussi sur le cercle de diamètre [AI]
% on trouve (b-c)*(b-a+c)*t - b*(a-b+c) = 0 donc: 
t=b*(a-b+c)/((b-c)*(b-a+c)); Q=SimplifieBary([a^2*t*(t+1); b^2*(t+1); -c^2*t]);
% Q=[a^2*(a+b-c)*(a-b+c); b*(b-c)*(a+b-c)*(b-a+c); -c*(b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)]
PQ=Wedge(P,Q); % PQ=[-c*(b-c)*(b-a+c), a*c*(a-b+c), -a*(a-b)*(a+b-c)]
R=SimplifieBary(Wedge(PQ,CA)); % R=[a*(a-b)*(a+b-c); 0; -c*(b-c)*(b-a+c)]
Nul=Factor(det([I O R]))
% On trouve Nul=0 donc (IR) passe par O

Cordialement,
Rescassol

JCL

Je n'ai pas creusé car je ne suis pas au point avec Feueurbach, mais la configuration est la même que sur le récent problème de Bouzar :
https://les-mathematiques.net/vanilla/post/quote/2339453/Discussion_2339453

Ce qui devrait donner une solution synthétique à Jean-Louis Ayme

jelobreuil

Bonjour Jean-Louis, bonjour à tous,

Peut-être faut-il voir ce problème comme une propriété de la droite $OI$ et de ses points d'intersection avec les côtés du triangle, points en lesquels viennent se couper les couples de droites analogues à $PQ$ ?

Bien amicalement, Jean-Louis B.