Défi mathématique : Prédire les formes algébriques de grands impairs

PMF

Défi mathématique : Prédiction des formes algébriques à partir de transformations impaires

Bonjour,

Je suis à la recherche d'un laboratoire intéressé par un défi mathématique original lié aux transformations impaires sur de très grands nombres. Le défi consiste à appliquer les opérations suivantes sur un impair \( i \), choisi par le laboratoire :

- \( D(i) = 4i + 1 \)

- \( V(i) = \frac{2i - 1}{3} \) (si \( 2i - 1 \) est divisible par 3)

- \( W(i) = \frac{4i - 1}{3} \) (si \( 4i - 1 \) est divisible par 3)

L'objectif est de tester cette méthode sur des impairs très grands en calculant les 9 premiers termes des séquences obtenues à l'aide de ces transformations. Une fois ces 9 termes calculés, vous n’avez qu’à me donner les classes modulo 16 des termes générés (dans l’ordre de la suite). En retour, je m'engage à prédire correctement la forme algébrique de l'impair secret \( i \) et celle de son premier successeur \( i' \).

Les classes modulo 16 permettent de déterminer un invariant puissant qui est utilisé pour prédire les formes algébriques des impairs sans connaître directement leur valeur exacte.

Exemple :

Prenons un petit impair juste pour l'exemple : \( i = 1553 \). Si vous appliquez correctement l'algorithme, vous obtenez les transformations suivantes :

- de 1553 à 1165 via \( W \) : \( \frac{4i - 1}{3} \)

- de 1165 à 291 via \( D \) : \( \frac{i - 1}{4} \)

- de 291 à 437 via \( V \) : \( \frac{3i + 1}{2} \)

- de 437 à 109 via \( D \) : \( \frac{i - 1}{4} \)

- de 109 à 27 via \( D \) : \( \frac{i - 1}{4} \)

- de 27 à 41 via \( V \) : \( \frac{3i + 1}{2} \)

- de 41 à 31 via \( W \) : \( \frac{4i - 1}{3} \)

- de 31 à 47 via \( V \) : \( \frac{3i + 1}{2} \)

Si vous me donnez simplement les classes modulo 16 des 9 termes : 1_13_3_5_13_11_9_15_15, et je vous donnerai en retour les formes algébriques des deux premiers impairs :

- \( 1553 : 2^{16}x - 63983 \)

- \( 1165 : 2^{15}x - 31603 \)

Bien sûr, je ne peux pas connaître la valeur exacte de \( x \), mais je tomberai toujours sur les bonnes formes \( 2^n \cdot x + b \), quelle que soit la taille de votre impair \( i \).

Si ce défi vous intéresse, n'hésitez pas à me contacter pour en discuter davantage !

PS : le code python ci-joint vous permet de faire le calcul pour un impair de votre choix. Vous pouvez entrer en LIGNE 45 la valeur de votre impair "secret".

lourrran

Salut PMF,
Je pensais à toi pas plus tard que ce mercredi !
Pourquoi avoir posté dans arithmétique, et pas dans shtam ?

Fin de partie

Je n'ai rien compris à la question. Mais il y a un petit fumet de shtam.

De quelle méthode s'agit-il?

noobey

Pas compris

Je prends $i = 1553$ je fais quoi avec ça?

PMF

noobey a dit :

Pas compris

Je prends $i = 1553$ je fais quoi avec ça?

Pour i= 1153
tu obtiens la suite suivante :

i-->1153-->865-->649-->487-->731-->1097-->823-->1235

dont le détail est :

de 1153 à 865 via W : (3*i+1)/4

de 865 à 649 via W : (3*i+1)/4

de 649 à 487 via W : (3*i+1)/4

de 487 à 731 via V : (3*i+1)/2

de 731 à 1097 via V : (3*i+1)/2

de 1097 à 823 via W : (3*i+1)/4

de 823 à 1235 via V : (3*i+1)/2

de 1235 à 1853 via V : (3*i+1)/2

Et me donne les classes mod 16 des 9 termes : 1_1_9_7_11_9_7_3_13

Je peux alors (sans connaitre ton i secret = 1153) les formes algébriques de ce i et de son premier successeur.

PMF

noobey a dit :

Pas compris

Je prends $i = 1553$ je fais quoi avec ça?

avec i = 1553 

de 1553 à 1165 via W : (3*i+1)/4

de 1165 à 291 via D : (i-1)/4

de 291 à 437 via V : (3*i+1)/2

de 437 à 109 via D : (i-1)/4

de 109 à 27 via D : (i-1)/4

de 27 à 41 via V : (3*i+1)/2

de 41 à 31 via W : (3*i+1)/4

de 31 à 47 via V : (3*i+1)/2

 et tu me donnes les 9 termes selon leur classe mod 16 : 1_13_3_5_13_11_9_15_15

Fin de partie

Je n'ai pas compris le but de tout ceci. Tu as une conjecture à faire avec ces calculs?

querty

Tu n'as pas besoin de labo, un simple compilateur Java et tu peux bricoler des nombres entiers de plusieurs gigas. Tu peux aussi utiliser une Linuxette et bc, c'est fait pour cela.

import java.math.*; <br>public class call<br>{ <br>public static void main(String args[]) <br>{ <br>		BigInteger i=new BigInteger("2672697862978182172617261261726172617263543145314341262614261426142614261426140621552141242614621672176217621761276276127611726172617061726172617261426147261426142614261426142614261426142641");<br>		BigInteger trois=new BigInteger("3");<br>		BigInteger one=new BigInteger("1");<br>		BigInteger quatre=new BigInteger("4");<br>			<br>		BigInteger tmp =i.multiply(trois);<br>		tmp=tmp.add(one);<br>		tmp=tmp.divide(quatre);<br>		System.out.println (tmp);<br>		<br>}<br>}

une commande dos

<br>C:\Users\...\java>javac call.java<br><br>C:\Users\...\java>java call<br>2004523397233636629462945946294629462947657358985755946960696069606960696069605466164105931960966254132163216320957207095708794629462796294629462946069610446069606960696069606960696069606981<br><br>C:\Users\...\java>

PMF

querty a dit :

Tu n'as pas besoin de labo, un simple compilateur Java et tu peux bricoler des nombres entiers de plusieurs gigas. Tu peux aussi utiliser une Linuxette et bc, c'est fait pour cela.

il ne faut pas seulement générer des grands impairs mais aussi faire des opérations correctes sur ceux-ci pour obtenir la suite demandée - ce qui implique que l'algorithme soit correctement implanté dans un environnement comptatible avec ces grands nombres. Cela peut être aussi utile de produire ces suites en quantité pour vérifier la fiabilité de cette méthode. 

Fin de partie

Pourquoi tu n'appliques pas $D$ à $1553$, qui est un nombre impair?

Comment fais-tu pour savoir si tu vas appliquer $W$ au lieu de $D$?

Fin de partie

Dans ta suite, tous les nombres sont impairs si j'ai compris, donc on peut toujours les écrire sous la forme $x2^k+1$  avec $x$ impair ($k$ et $x$ dépendent du nombre impair considéré), sans avoir besoin de faire tout ceci.

PS:

Cette écriture est meilleure que celle que tu proposes puisque elle est unique: pour tout entier impair $n$ il existe un unique entier $k$, et un unique entier impair $x$ tels que $n=x2^k+1$.

Démonstration:

Supposons qu'il existe un autre entier $k^\prime$ et un autre entier impair $x^\prime$ tels que $n=x^\prime2^{k^\prime}+1$.

On aurait donc que $x2^k=x^\prime2^{k^\prime}$ donc  $2^k$ divise $x^\prime2^{k^\prime}$ mais  $x^\prime$ est impair donc $x^\prime$ et $2^k$ sont premiers entre eux donc d'après le lemme de Gauss, on a que $2^k$ divise $2^{k^\prime}$.

De la même façon, on peut montrer que $2^{k^\prime}$ divise $2^k$ et ainsi on a $2^k=2^{k^\prime}$ donc $k=k^\prime$ et aussi, par conséquent $x=x^\prime$.

PMF

Fin de partie a dit :

Pourquoi tu n'appliques pas $D$ à $1553$, qui est un nombre impair?

Comment fais-tu pour savoir si tu vas appliquer $W$ au lieu de $D$?

Si on suit pas à pas l'algorithme, on doit trouver toujours pour i un successeur i' qui est un entier impair (donc ni pair, ni décimal). C'est pour cela que cette suite s'appelle suite de transformations impaires (STI). Il n'y a qu'un choix d'opérations possible pour passer de i à i' son successeur.

Si tu as Excel sous la main, tu entres cette formule où tu remplaces tous les "i" par la référence de la cellule où tu entres un impair i.

=SI(ET(EST.IMPAIR((3*i+1)/4);ENT((3*i+1)/4)=(3*i+1)/4);(3*i+1)/4;SI(ET(EST.IMPAIR((i-1)/4);ENT((i-1)/4)=(i-1)/4);(i-1)/4; SI(ET(EST.IMPAIR((3*i+1)/2);ENT((3*i+1)/2)=(3*i+1)/2);(3*i+1)/2;"")))

lourrran

Tu définis V ainsi :  
V(i) = une certaine formule si 2i-1 est divisible par 3....   
Ok.

et V(i)= quoi dans le cas contraire ? 
V(i) n'est pas défini.

Hop, toute personne 'constructive' arrête la lecture à ce moment là, ou continue la lecture en passant en mode ("tiens, un nouveau shtameur")
Tout matheux sait déjà que ce travail n'est pas valide, sans avoir besoin de lire la suite.

PMF

lourrran a dit :

Tu définis V ainsi :  
V(i) = une certaine formule si 2i-1 est divisible par 3....   
Ok.

et V(i)= quoi dans le cas contraire ? 
V(i) n'est pas défini.

Hop, toute personne 'constructive' arrête la lecture à ce moment là, ou continue la lecture en passant en mode ("tiens, un nouveau shtameur")
Tout matheux sait déjà que ce travail n'est pas valide, sans avoir besoin de lire la suite.

Même réponse que pour fin de partie . Si l'algorithme est suivi pas à pas, on a toujours pour i impair, un successeur i' impair en appliquant OU D, OU V, OU W. Un seul des 3 donne un résultat entier impair (ni pair, ni décimal). Il n'y a jamais de "résultat vide".
et puis tu peux toujours vérifier avec ce code :

def transform(i):

    # Vérifie si la transformation W est applicable

    if (3 * i + 1) % 4 == 0:

        result = (3 * i + 1) // 4

        if result % 2 != 0:  # S'assure que le résultat est impair

            return result

    # Vérifie si la transformation D est applicable

    if (i - 1) % 4 == 0:

        result = (i - 1) // 4

        if result % 2 != 0:  # S'assure que le résultat est impair

            return result

    # Vérifie si la transformation V est applicable

    if (3 * i + 1) % 2 == 0:

        result = (3 * i + 1) // 2

        if result % 2 != 0:  # S'assure que le résultat est impair

            return result

    # Si aucune transformation n'est applicable

    return None

# Exemple d'utilisation

i = int(input("Entrez un impair i : "))

i_successeur = transform(i)

if i_successeur is not None:

    print(f"Le successeur de {i} est {i_successeur}")

else:

    print(f"Aucune transformation applicable pour {i}")

 

PMF

Fin de partie a dit :

Dans ta suite, tous les nombres sont impairs si j'ai compris, donc on peut toujours les écrire sous la forme $x2^k+1$  avec $x$ impair ($k$ et $x$ dépendent du nombre impair considéré), sans avoir besoin de faire tout ceci.

Je donne pour le i secret une forme 2^n*x+b qui est très précise 

Par exemple si m'as donné les classes mod 16 suivante :  "1_13_3_5_13_11_9_15_15" en te basant sur un i secret 1553, je te donnerai comme réponse : i à i' : 2^16*x-63983 --> 2^15*x-31603 
et tu pourras vérifier que 1553 et son successeur 1165 sont bien sous ces formes algébriques !

Fin de partie

Pour une fois que je suis d'accord avec Lourrran.

C'est shtamineux!

querty

Pas sur d'avoir tout compris donc

PMF

Analyse de chaque transformation :

- Transformation \( W \) : 

  - \( W(i) = \frac{3i + 1}{4} \) est la transformation la plus stricte puisqu'elle exige que \( 3i + 1 \) soit divisible par 4. En l'appliquant en premier, vous réduisez de manière plus agressive les valeurs possibles, car c'est la condition la plus restrictive.

  

- Transformation \( D \) : 

  - \( D(i) = \frac{i - 1}{4} \) ne dépend que de la valeur de \( i \), et si \( i \equiv 1 \pmod{4} \), c'est une façon directe de réduire \( i \). La condition sur \( i - 1 \) étant plus souple que celle de \( W \), elle intervient en second.

- Transformation \( V \) : 

  - \( V(i) = \frac{3i + 1}{2} \) est la transformation la plus "souple", puisqu'elle ne nécessite que \( 3i + 1 \) soit divisible par 2. En l'appliquant en dernier, vous garantissez que si ni \( W \) ni \( D \) ne sont applicables, il reste une option pour transformer \( i \).

L'ordre \( W \to D \to V \) est une stratégie d'optimisation :

- \( W \) est la plus restrictive et donne donc des transformations plus "profondes" dans l'arbre.

- \( D \) intervient si \( W \) n'est pas applicable, car elle reste efficace pour réduire \( i \), mais est moins stricte.

- \( V \), la plus souple, intervient en dernier recours pour les cas où les deux autres ne s'appliquent pas.

PMF

querty a dit :

Pas sur d'avoir tout compris donc

Ta STI est correcte et tu passes bien par les bons impairs de 1153 à 47.

de 1553 à 1165 via W : (3*i+1)/4

de 1165 à 291 via D : (i-1)/4

de 291 à 437 via V : (3*i+1)/2

de 437 à 109 via D : (i-1)/4

de 109 à 27 via D : (i-1)/4

de 27 à 41 via V : (3*i+1)/2

de 41 à 31 via W : (3*i+1)/4

de 31 à 47 via V : (3*i+1)/2

L'ordre des opérations optimum quand on teste i est W, D, V et c'est expliqué pourquoi dans mon message précédent. Tu peux compiler l'équation de 1153 à 47 mais cela n'est pas nécessaire.
Si tu veux essayer une autre impair, pas de soucis. On pourra donc essayer après de prédire !

PMF

Fin de partie a dit :

Pour une fois que je suis d'accord avec Lourrran.

C'est shtamineux!

essaie le défi, on verra si c'est si shtammineux....

lourrran

Pour ce défi, PMF aura besoin de quelques heures pour formuler correctement le défi.
Et un matheux aura besoin de quelques secondes pour reconstituer les opérations 'magiques' détenues par PMF.

JLT

Bof, une fois reformulé de manière claire, c'est de niveau terminale. Pour tout $x$, on définit $f(x)=\frac{3x+1}{4}$ si $x\equiv 1\,[8]$, $f(x)=\frac{x-1}{4}$ si $x\equiv 5\,[8]$, $f(x)=\frac{3x+1}{2}$ sinon. Le "défi" consiste à donner les congruences modulo $16$ de $x,f(x),\ldots,f^{8}(x)$, et on peut en déduire la valeur de $x$ modulo $2^n$ pour un certain $n$ compris entre $12$ et $20$.

PMF

JLT a dit :

Bof, une fois reformulé de manière claire, c'est de niveau terminale. Pour tout $x$, on définit $f(x)=\frac{3x+1}{4}$ si $x\equiv 1\,[8]$, $f(x)=\frac{x-1}{4}$ si $x\equiv 5\,[8]$, $f(x)=\frac{3x+1}{2}$ sinon. Le "défi" consiste à donner les congruences modulo $16$ de $x,f(x),\ldots,f^{8}(x)$, et on peut en déduire la valeur de $x$ modulo $2^n$ pour un certain $n$ compris entre $12$ et $20$.

Ok formidable. Dans ce cas vous êtes capable de trouver l'expression 2^n*x+b des 2 premiers impairs pour cette suite de transitions de classes mod  : 

7_11_9_7_3_5_5_13_11

En effet, reformulé sous votre angle, cela peut sembler simple. Cependant, le cœur de mon approche ne réside pas seulement dans les congruences modulo 16 ou dans une reformulation standard des transformations.

Ce que je propose va au-delà des congruences classiques :

1. Les transformations impaires \( D \), \( V \), et \( W \) que j'ai présentées sont utilisées pour définir des Suites de Transformations Impaires (STI). Ces suites sont construites exclusivement à partir des nombres impairs et suivent une structure très spécifique.

2. Le vrai défi réside dans l'utilisation des invariants des transformations pour prédire la forme algébrique de l'impair de départ et de ses successeurs, sans manipuler directement les très grands nombres. Contrairement à une approche purement par les congruences, l'objectif est d'utiliser les invariants algébriques pour retrouver la structure de la suite impaire sous-jacente.

3. L'approche par les segments \( L=8 \) : En appliquant ces transformations à des impairs, je peux déterminer avec précision la forme \( 2^n \cdot x + b \) de l'impair secret après avoir reçu un segment de 8 transitions en classes modulo 16. Ce qui est intéressant ici, c'est que je n'ai pas besoin de connaître directement l'impair secret pour prédire ses transformations futures. Cela dépasse la simple congruence modulaire.

4. Pourquoi cela est pertinent pour des très grands nombres ?

   Le défi est d'appliquer cette méthode sur des impairs extrêmement grands, que l'on ne manipule pas directement, mais dont on peut retrouver les invariants uniquement à partir des segments modulo 16. Cela montre la puissance de cette méthode pour traiter des très grands nombres avec une simplicité étonnante.

Exemple :

Si vous me fournissez les classes modulo 16 des 9 premiers termes d'une STI à partir d'un impair \( i \), je peux vous donner les formes algébriques de \( i \) et de son successeur. Si vous me fournissez plus de transitions, je peux déterminer les successeurs suivants avec encore plus de précision. 

L'intérêt est donc de montrer que, même avec des très grands impairs, je peux prédire la structure de la suite sans calculer explicitement les impairs.

PMF

si vous suivez cette conversation, j'ai modifié le premier message en y ajoutant un code python pouvant générer une séquence de 9 transitions de classes mod 16 et quelques précisions sur le défi.

JLT

C'est $2^{16}x+999$ si je n'ai pas fait d'erreur de calcul.

PMF

JLT a dit :

C'est $2^{16}x+999$ si je n'ai pas fait d'erreur de calcul.

c'est pour cela que c'est un peu plus compliqué ! la bonne réponse est : i à i' : 2^14*x-15385 --> 2^15*x-31269 via : V

ma suite était :

de 999 à 1499 via V : (3*i+1)/2

de 1499 à 2249 via V : (3*i+1)/2

de 2249 à 1687 via W : (3*i+1)/4

de 1687 à 2531 via V : (3*i+1)/2

de 2531 à 3797 via V : (3*i+1)/2

de 3797 à 949 via D : (i-1)/4

de 949 à 237 via D : (i-1)/4

de 237 à 59 via D : (i-1)/4

JLT

Je n'ai pas compris quelle est ta réponse mais le 999 que j'ai trouvé marche.

La suite des nombres obtenue est 999, 1499,  2249, 1687, 2531, 3797, 949, 237, 59.

Les congruences modulo 16 sont celles que tu as demandées.

(P.S. Ce message répondait au message précédent avant qu'il ait été édité.)

JLT

PMF a dit :

 2^14*x-15385

Pour $x=2$ on a $2^{14}x-15385= 17383$. La suite des nombres obtenus est

17383  26075  39113  29335  44003  66005  16501  4125  1031

Les congruences modulo 16 sont
7   11  9   7   3   5   5   13   7.

Ce n'est pas ce qui est demandé.

lourrran

Je complète mon message précédent ...

Pour ce défi, PMF aura besoin de quelques heures pour formuler correctement le défi.
Et un matheux aura besoin de quelques secondes pour reconstituer les opérations 'magiques' détenues par PMF, plus quelques heures pour expliquer à PMF ses erreurs.

PMF

JLT a dit :

PMF a dit :

 2^14*x-15385

Pour $x=2$ on a $2^{14}x-15385= 17383$. La suite des nombres obtenus est

17383  26075  39113  29335  44003  66005  16501  4125  1031

Les congruences modulo 16 sont
7   11  9   7   3   5   5   13   7.

Ce n'est pas ce qui est demandé.

2^14*x-15385 = 999 pour x=1

PMF

et pour x=3

17 383

26 075

39 113

29 335

44 003

66 005

16 501

4 125

1 031

toujours avec 7_11_9_7_3_5_5_13_7 quelque soit x

JLT

PMF a dit :

7_11_9_7_3_5_5_13_11

PMF a dit :

toujours avec 7_11_9_7_3_5_5_13_7 quelque soit x

Le 11 final s'est transformé en 7.

PMF

c'est normal : c'est le segment avec les 8 premières transitions de classes mod 16 qui garantit l'invariance de la forme 2^n*x+b de l'impair de départ. Si on change la valeur de x de cet impair, alors on va trouver d'autres valeurs de classes pour cette 9ème position.
pour les valeurs de x suivantes et toujours avec 2^14*x-15385 lié au segment L=8 : 7_11_9_7_3_5_5_13

on aura donc ces 9 transitions

x=1 : 7_11_9_7_3_5_5_13_11

x=2 : 7_11_9_7_3_5_5_13_7

x=3 : 7_11_9_7_3_5_5_13_3

x=4 : 7_11_9_7_3_5_5_13_15

x=5 : 7_11_9_7_3_5_5_13_11

x=6 : 7_11_9_7_3_5_5_13_7

x=7 : 7_11_9_7_3_5_5_13_3

x=8 : 7_11_9_7_3_5_5_13_15

Donc la 9ème classe "cycle" sur 4 étapes selon x : 11, 7, 3, 15

Si tu me donnes 9 transitions, il est possible de donner aussi une évaluation de ton x : 4k-3, 4k-2, 4k-1, 4k toujours sans connaitre le i "secret" qui débute la séquence.

JLT

J'abandonne. Je crois que lourrran a raison.

lourrran

Il faut toujours considérer que Lourrran a raison. C'est une très bonne base de travail.
Et en plus, dans le cas présent, s'agissant de PMF, je crois que j'ai une expérience inégalable. Pour rappel on a échangé des centaines de messages sur un sujet unique : la conjecture de Syracuse.
3 ans plus tard, il revient, avec un sujet qui est visiblement la suite 'logique' de ce travail sur la conjecture de Syracuse.

LOU16

Bonjour,

Ce message, qui reprend ce qui a été dit par @JLT et dont ne tiendra sans doute aucun compte @PMF, s'adresse à ceux  (dont j'ai fait partie) qui ont été paumés par les "invariants puissants", les nébuleuses transformations "souples" ou "strictes", jamais clairement définies, évoqués par PMF , et qui souhaitent connaître avec précision le "défi" auquel ce dernier se propose de les confronter.

$\mathcal I$ désigne l'ensemble des entiers impairs, et  $E\: $ l'ensemble $\{1,3,5,7,9,11,13,15\}.\:\: f$ est l'application $\mathcal I \longrightarrow \mathcal I $ définie par:

$$\forall n\in\mathcal I, \quad f(n) =\left\{\begin{array}{cl}\dfrac{3n+1}2&\text{ si }n\equiv 3\mod4\\\dfrac{3n+1}4&\text{ si }n\equiv 1 \mod 8\\\dfrac{n-1}4&\text{ si } n\equiv 5 \mod 8\end{array}\right.$$

Pour tous $n\in \mathcal I,\:k\in\N,\: $on définit $u_k(n):=\text{ reste de la division euclidienne de }f^{\circ k}(n) \text{ par } 16,\: $ 

puis, pour tout $p\in \N^*, \:F_p$ l'application $\mathcal I \rightarrow E^p\: $telle que $\forall n \in \mathcal I, \:\: F_p(n) :=\Big( u_0(n),u_1(n), \dots , u_{p-1}(n) \Big).$

La question (appelée "défi") est: $\boxed{\:\text{ Pour }u\in E^p, \text{  caractériser l'ensemble }F_p^{-1}(\{u\})\text {des antécédents de }u \text{ par }F_p.}$

Pour $p=9, \:u=(7,11,9,7,3,5,5,13,11),\: $la réponse est bien, comme l'a indiqué @JLT: $$F_p(n)=u \iff n\equiv 999\mod 2^{16}.$$

"Plus généralement", on peut dire que $\: F_p\text{ est surjective, }\:\:$ et que $\: \forall u =(u_0,u_1,\dots u_{p-1}) \in E^p,\:\:$

$$\boxed{F_p^{-1}(\{u\}) \text{ est une classe de congruence modulo }2^m, \text { où } m=p+3+\text{card}\Big\{ k\in[\![0;p-2]\!]\mid u_k\equiv 1\mod 4\Big\}.}$$

lourrran

On a des $f(n)=3n+1$ si $n$ est impair, ... ohhhh, est-ce que par hasard on ne serait pas (encore et toujours) en train d'essayer de prouver la conjecture de Syracuse !

PMF

LOU16 a dit :

Bonjour,

Ce message, qui reprend ce qui a été dit par@JLT et dont ne tiendra donc aucun compte @PMF, s'adresse à ceux  (j' en ai fait longtemps partie) qui ont été paumés par les "invariants puissants", les nébuleuses transformations "souples" ou "strictes", jamais clairement définies, évoqués par PMF , et qui souhaitent comprendre clairement à quel "défi" ce dernier se propose de les confronter.

Je tiens tout à fait compte de cette contribution et de la qualité de la formalisation qu'elle apporte!

Toutefois, il semble que plusieurs aspects fondamentaux de ma théorie des Suites de Transformations Impaires (STI) aient été omis ou simplifiés, notamment l’importance de l’ordre des transformations, l’invariance des segments, ainsi que la structure fractale sous-jacente au graphe des classes modulo 16.

1. L’ordre spécifique des transformations \(W \rightarrow D \rightarrow V\)

Dans ma théorie, chaque impair \(i\) évolue selon un algorithme dynamique qui applique successivement les transformations \(W\), \(D\), puis \(V\), en fonction de la divisibilité de certaines expressions par 3. Contrairement à une simple séquence de congruences modulo 16, ce processus est déterminé par l’échec ou la réussite d’une transformation donnée avant de passer à la suivante. Plus précisément :

   $W(i) = \frac{4i - 1}{3} \quad \text{(si } 4i - 1 \text{ est divisible par 3)},$

   $ D(i) = 4i + 1,$

   $V(i) = \frac{2i - 1}{3} \quad \text{(si } 2i - 1 \text{ est divisible par 3)}.$

Ce que la reformulation oublie, c’est que cette hiérarchie des transformations \(W \rightarrow D \rightarrow V\) est essentielle. L'ordre est un aspect central car il influence la trajectoire d’un impair dans le graphe, déterminant ainsi la forme du segment. Une simple reformulation en congruence masque cette dynamique fondamentale.

2. Invariance des segments et formes algébriques

 Le cœur de ma théorie repose sur l'invariance des segments dans le graphe des classes modulo 16. Contrairement à une approche purement congruentielle, j'étudie des segments de transformations de classes qui suivent une forme algébrique unique et invariante. Chaque impair \(i\) dans un segment peut être représenté sous la forme :

   $i = 2^k \cdot x + b,$

   où \(k\) et \(b\) sont déterminés par la structure du segment, et \(x\) est un paramètre entier. Cette forme est invariante pour un segment donné, et c'est cette invariance qui permet de prédire non seulement la trajectoire d’un impair dans le graphe, mais aussi les impairs qui peuvent suivre cette trajectoire.

La reformulation proposée réduit cette analyse à des restes euclidiens modulo 16 (\( u_k(n) \)), ce qui occulte complètement la nature prédictive et structurelle des segments que je mets en avant. La forme algébrique des impairs est intrinsèquement liée à la manière dont les transformations \(W\), \(D\), et \(V\) interagissent, et ce n’est pas simplement une question de congruence modulo 16.

3. Structure fractale et récurrence des segments

Les transformations que j'étudie s'inscrivent dans une structure fractale où les segments se répètent à différents niveaux de granularité dans le graphe. En effet, tout segment de transformations \(W\), \(D\), et \(V\) peut être retrouvé dans des suites plus longues, ce qui montre la récurrence et l’universalité des segments dans le graphe.

La reformulation proposée se limite à une représentation congruentielle simplifiée, mais cette vision fait abstraction de la complexité fractale sous-jacente. Le graphe des classes modulo 16 présente une structure beaucoup plus riche, où chaque transition de classe est liée à une invariance de segment, et cette invariance est conservée à travers plusieurs générations de transformations.

4. Arborescence des STI et propriétés d’unicité

Dans le graphe des classes modulo 16, chaque impair suit une trajectoire unique dictée par les transformations \(W\), \(D\), et \(V\). L’arborescence des STI est construite de manière à ce que chaque trajectoire soit déterminée non seulement par les congruences modulo 16, mais aussi par la nature des transformations appliquées. Cette structure impose une contrainte forte sur la manière dont les impairs évoluent dans le graphe.

Les invariants des segments, que je décris par des formes algébriques \(2^k \cdot x + b\), ne sont pas simplement des solutions triviales d'une congruence. Ils représentent des classes spécifiques d’impairs qui partagent une même trajectoire dans le graphe et qui peuvent être retrouvés dans une infinité de STI plus grandes. C’est cette universalité qui est perdue dans la reformulation proposée.

 

La reformulation en congruence modulo 16, bien que mathématiquement correcte, ne capture pas la profondeur de l'approche par les STI. Les transformations \(W\), \(D\), et \(V\), ainsi que leur ordre d'application, sont cruciales pour comprendre la dynamique du graphe et les trajectoires des impairs. De plus, la forme algébrique des segments et leur invariance à travers le graphe sont des outils essentiels pour démontrer l’universalité des STI, ce qui va bien au-delà d'une simple congruence.

 

LOU16

Bonjour @PMF,

Je ne comprends strictement rien à ce que tu racontes dans ton dernier message. Qui peut d'ailleurs y comprendre quelque chose?

En particulier , je ne vois aucune "reformulation" et rien d'"oublieux", de "simplificateur", d'erroné , de... je ne sais trop quoi, dans l'équivalence suivante, qui répond, elle, de manière claire et parfaitement explicite à la question que tu as posée;

$$F_9(n)=(7,11,9,7,3,5,5,13,11)\iff n \equiv 999\mod 2^{16}$$

Quant à ton délire (pour n'en citer qu'un)  "La reformulation en congruence modulo 16 ne capture pas la profondeur...", je n'y vois encore une fois aucune "reformulation" de ma part, car c'est bien toi qui a introduit ces congruences. (peut-être confonds-tu $16$ et $2^{16}$?... va savoir.) D'ailleurs pourquoi $16$ et pas $8$ ou $32$?

Tout ce que j'ai "reformulé", c'est la question que tu posais, accompagnée d'une réponse, (en termes de congruence $\text{modulo }2^m$ ), claire et incontestable, que tu le veuilles ou non.

Je ne me suis que trop attardé dans cette non-discussion qu'il est temps pour moi de clore définitivement.

gerard0

"Ce que la reformulation oublie, c’est que cette hiérarchie des transformations W→D→V est essentielle. L'ordre est un aspect central car il influence la trajectoire d’un impair dans le graphe, déterminant ainsi la forme du segment. Une simple reformulation en congruence masque cette dynamique fondamentale."

Lou16 disait "dont ne tiendra donc aucun compte @PMF", il avait raison . PMF dit le contraire, mais ne l'a pas lue, sinon il aurait vu que son "ordre" est simplement une question de restes modulo 4 et 8. "Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?"

Il est sans doute temps de fermer ce fil purement publicitaire.

PMF

@LOU16

Si tu peux encore patienter un peu, voici un exemple très concret et très simple pour comprendre les notions d'invariants et de segments de parcours dans le graphe qui inclut toutes les possibilités de passer d'une classe à une autre en fonction des 24 arêtes.

Considérons tous les impairs qui reviennent à 1 après exactement 7 transformations dans leur STI. Chaque impair \(i\) de ce groupe peut être représenté par un segment de transformations mod 16 spécifique, qui constitue la séquence de classes parcourues par \(i\) dans le graphe des transformations impaires. Ce segment est associé à une forme algébrique \(2^k \cdot x + b\), où \(k\) et \(b\) sont les invariants du segment et \(x\) est un paramètre spécifique à chaque impair.

1. Exemple d'impair \(i\) avec \(x = 1\)

Prenons un impair \(i = 3637\) qui, après 7 transformations, revient à 1. Le segment de transformations de classes mod 16 pour cet impair est :

$5 \to 13 \to 3 \to 5 \to 5 \to 5 \to 5 \to 1$

Ce segment est représenté par la forme algébrique :

$i = 2^{17} \cdot x - 127435$

Pour \(x = 1\), on trouve que \(i = 3637\), et cette STI se termine bien à 1 après 7 transformations (3637, 909, 227, 341, 85, 21, 5, 1).

2. Recherche d'un \(i'\) avec \(x = 2\)

Maintenant, considérons un autre impair \(i'\) dont \(x = 2\) dans la même forme algébrique. Cela nous donne \(i' = 134709\). Cet impair possède exactement le même segment de transformations mod 16 :

$5 \to 13 \to 3 \to 5 \to 5 \to 5 \to 5 \to 1$

Cependant, contrairement à \(i = 3637\), l'impair \(i' = 134709\) ne revient pas à 1 après 7 transformations, mais poursuit son chemin dans le graphe (134709, 33677, 8419, 12629, 3157, 789, 197, 49....).

3. Analyse et généralisation

L'invariant \((k, b) = (17, -127435)\) est commun à ces deux impairs \(i\) et \(i'\). Ce qui signifie que bien que \(i = 3637\) revienne à 1 et que \(i' = 134709\) ne le fasse pas, ils partagent un segment identique dans le graphe des transformations. Cet invariant détermine la structure sous-jacente de leur STI, indépendamment du fait qu'ils convergent ou non après un nombre fixé de transformations.

Ce phénomène n'est pas un cas isolé. Tous les impairs qui reviennent à 1 après 7 transformations peuvent être associés à une forme algébrique \(2^k \cdot x + b\), et pour chaque impair de cette forme, il existe un \(i'\) avec \(x > 1\) qui partage le même segment mais suit une trajectoire différente dans sa STI.

Pour les 19 impairs \(i\) revenant à 1 en 7 étapes :

21845, 3413, 7253, 1109, 3637, 565, 1205, 181, 605, 93, 29, 15, 7281, 1137, 2417, 369, 401, 201, 9

il est possible de trouver respectivement les \(i'\) suivants :
283989, 134485, 269397, 132181, 134709, 66101, 132277, 65717, 66141, 32861, 32797, 16399, 269425, 132209, 264561, 131441, 131473, 65737, 32777
\(i\) et \(i'\) partageant respectivant ces invariants :

2^18*x-240299, 2^17*x-127659, 2^18*x-254891, 2^17*x-129963, 2^17*x-127435, 2^16*x-64971, 2^17*x-129867, 2^16*x-65355, 2^16*x-64931, 2^15*x-32675, 2^15*x-32739, 2^14*x-16369, 2^18*x-254863, 2^17*x-129935, 2^18*x-259727, 2^17*x-130703, 2^17*x-130671, 2^16*x-65335, 2^15*x-32759

4. Implication pour la conjecture de Collatz

Ce résultat est fondamental car il montre que chaque segment de transformations mod 16 est lié à un couple invariant \((k, b)\), et que la banalité de ces segments implique qu'ils sont partagés par une infinité d'impairs. En d'autres termes, chaque impair a une trajectoire définie par un segment invariant, et il est possible de trouver d'autres impairs qui partagent cette trajectoire mais qui ne reviennent pas à 1 après un nombre fixe de transformations.

C'est précisément en considérant la structure des segments et des invariants que l'on peut expliquer ce résultat mathématiquement. La théorie des STI et du graphe des transformations impaires nous permet de comprendre pourquoi un impair revient à 1, ou pourquoi un autre suit une trajectoire différente, mais avec le même segment invariant.

lourrran

Cher PMF, tout ceci n'a rien de nouveau. 
Tu te souviens que tu as posté beaucoup de messages sur la conjecture de Collatz, il y a 4 ans, et aussi il y a 3 ans ?
Peut-être pas, en fait !
Tu te souviens que des personnes répondaient à tes messages ?
Relis les discussions en question, tout cela était expliqué. 
Pas dans tes messages, bien sûr.
Dans les réponses à tes messages.
Et ça n'a rien de découvertes fondamentales, ce sont des raisonnements très basiques, qui demandent des connaissances qu'on a en principe vers 10 ou 12 ans.

PMF

Puisque nous sommes dans la section arithmétique, laissons parler l'arithmétique !

Invariance des segments :

Le segment décrit est invariant dans le sens où la trajectoire des 7 successeurs de \( i \) dans le graphe est toujours la même pour tout impair \( i \) ayant la forme \( i = 2^k \times x + b \). Cette invariance garantit que, quel que soit l'impair initial \( i \) respectant cette forme, il suivra exactement la même suite d'opérations dans le graphe, aboutissant inévitablement à 1.

En ce sens, le retour à 1 devient "banal" car, par exemple, l'impair \( i = 9 \) revient à 1 en suivant exactement le même parcours dans le graphe que l'impair \( i = 163849 \), qui aboutit à \( i = 19441 \)  via les mêmes classes. Cela démontre que, même pour de très grands nombres, la trajectoire vers 1 est prévisible et suit des règles arithmétiques simples.

Fin de partie

Un concept  n'a un intérêt que si celui-ci est réutilisable utilement dans une autre situation, qui n'est pas artificielle, que celle qui a permis de le dégager.  Autrement c'est de l'enc... de mouches!

PMF

La célèbre conjecture de Collatz fascine par la simplicité de sa règle et la difficulté à prouver que toutes les suites finissent par converger vers 1. Mais il existe une structure sous-jacente plus explicite et systématique : les Suites de Transformations Impaires (STI). Ces transformations compressent la dynamique des suites de Collatz en un schéma de classes mod 16, révélant un chemin invariant pour chaque impair.

Regardons les suites de Collatz de 9 et de 163849. En surface, ces deux suites semblent complètement différentes. Pourtant, comme le montrent les tableaux ci-dessous, elles suivent le même segment invariant de transformations de classe mod 16. Ce segment est une "colonne vertébrale" impaire, tracée par les opérations W, D, et V.

Tableaux des segments STI pour i = 9 et i = 163849 :

Ces segments montrent que, malgré la complexité apparente de chaque suite de Collatz, la progression à travers les transformations mod 16 reste identique pour tous les impairs ayant une certaine forme \( i = 2^k \cdot x + b \). Ce qui est fascinant ici, c'est que ces segments sont invariants : ils sont les mêmes pour tous les impairs de cette forme, indépendamment de leur taille.

Aller de 9 à 1 est aussi "banal" que d'aller de 163849 à 14581 : c'est le même chemin de transformations de classes mod 16 avec les mêmes opérations dans le même ordre... Mais l'une converge vers 1. Ce que nous disons , c'est que si une suite de Collatz converge vers 1 en n étapes, son homologue STI présente un segment de transformations de classes mod 16 d'une longueur L que l'on peut retrouver dans une infinité d'impairs ayant la même forme \( i = 2^k \cdot x + b \).
Dans notre exemple, i = 2^15*x-32759 = 9 pour x=1.

En réalité, si nous avions découvert l'algorithme des STI avant celui de Collatz, nous aurions probablement résolu la conjecture bien plus tôt ! En effet, les STI offrent une vision beaucoup plus claire de la convergence vers 1. Plutôt que de suivre le chaos apparent des étapes impaires et paires des suites de Collatz, les transformations dans le graphe des STI assurent explicitement cette convergence en suivant un parcours prédéterminé dans un cadre modulaire.

Les transformations W, D, et V permettent ainsi une compression des suites de Collatz, réduisant chaque impair à une série d'opérations modulaires simples et répétées. Dans ce cadre, l'invariance des segments assure que, quel que soit l'impair choisi, le chemin à travers les transformations du graphe des STI est le même. Cela simplifie grandement la compréhension de la dynamique des suites, en les ramenant à une série d'étapes fixes.

nb: le code Python ci-joint permet de comparer une suite de Collatz à son homologue STI. Entrer un nombre impair en ligne 28

querty

Ok, mais alors pourquoi 163849 à 14581 et 9 à 1 ? Avec un peu de patience, il doit être possible de faire la même chose avec autre chose que 16 et une autre  séquence voir la dernier colonne 

PMF

querty a dit :

Ok, mais alors pourquoi 163849 à 14581 et 9 à 1 ? Avec un peu de patience, il doit être possible de faire la même chose avec autre chose que 16 et une autre  séquence voir la dernier colonne 

Mais bien sur mais tu devras calculer des paramètres adaptés si tu utilises d'autres classes que mod 16 (cad mod avec une autre puissance de 2)
De même le segment exploré ici est un L=8. On peut explorer le graphe avec n'importe quelle longueur évidemment
Comme tu dis , il faut être patient.
Mais cela ne sert à rien. En fait On peut explorer tout le graphe avec les classes mod 16 et les segments L=8. C'est juste une méthode basée sur une "métrique" constituée du choix de la classe et de la longueur du segment.

Pour la longueur L=8, il existe 8*3^(L-1) possibilités de segments, identifiés chacun par un ordre d'opérations W, D, V, un segment spécifique de transformations de classes mod 16, et une forme i =2^k*x+b : ce qui fait que tout impair i se promène de la même façon dans le graphe quelque soit la valeur de x.

Je vais publier une synthèse de tout ça cette apm.

querty

Je ne vois pas vraiment où cela mène, pour Syracuse. Je suis actuellement à la recherche d'un axe pour présenter la démonstration, sauf que la seule démonstration que j'ai est assez imbitable, une sordide histoire de quantités d'entiers de la forme xxxx 'plus grand que de la  forme zzzz . Bref, si tu as un axe plus simple, je suis preneur. Mais bon, nous sommes d'accord pour dire qu'il y a moyen de trouver une structure ou une représentation différente voir le pdf

Ps:Cette approche fonctionne pour toutes les valeurs

PMF

ok je vais lire avec attention ta démonstration, mais je pense que mon approche est plus simple car l'algorithme des STI donne une forme bien plus simple des suites de Collatz où l'invariance des transformations peut-être démontrée. 

querty

je poste que l'application numérique

\[E_{2^2} = \left\{ x \in E_2 \mid x = 3^p \cdot n - 1, \, x \equiv 2^2 \mod 2^3, \, p = 1 + k\cdot 4 , \, n = 7 + 8 \cdot k, \, k \in \mathbb{N} \right\}\]
Je choisis une divisibilité ici $q=2$, je construis un entier pair  $(3^1\cdot7-1)$ qui me permet de caractériser l'entier impair et d'obtenir $U_{n+2p+q}$
\[U_n=2^1\cdot7-1=13\]
\[U_{n+2p}=3^1\cdot7-1=20\]
\[U_{n+2p+2}=\frac{20}{2^2}=5\quad,\quad  \frac{(3/2)^1}{2^2}=0.375\quad 5<13 \]
\[13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1\]
\[E_{2^3} = \left\{ x \in E_2 \mid x = 3^p \cdot n - 1, \, x \equiv 2^3 \mod 2^4, \,
\left(
\begin{array}{l}
    p = 1 + k \cdot 4, \, n = 3 + 16 \cdot k \\
    p = 2 + k \cdot 4, \, n = 1 + 16 \cdot k
\end{array}
\right), \, k \in \mathbb{N}
\right\}\]
\[U_n=2^2\cdot17-1=67\]
\[U_{n+2p}=3^2\cdot17-1=152\]
\[U_{n+2p+3}=\frac{152}{2^3}=19\quad,\quad  \frac{(3/2)^2}{2^3}=0.281\quad 19<67\]
\[67 - 202 - 101 - 304 - 152 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 \]

\[U_n=2^6\cdot7-1=447\]
\[U_{n+2p}=3^6\cdot7-1=5102\]
\[U_{n+2p+1}=\frac{5102}{2^1}=2551\quad,\quad  \frac{(3/2)^6}{2^1}=5.69\quad 2551>447\]
\[447 - 1342 - 671 - 2014 - 1007 - 3022 - 1511 - 4534 - 2267 - 6802 - 3401 - 10204 - 5102 - 2551\]

En gros, il y a plus d'entiers de la forme $2^1$ que d'entiers de la forme $2^6$, donc la suite converge

PMF

@querty

Ta théorie expose notamment l'idée de simplifier les suites de Collatz en étudiant la densité des étapes paires via une puissance de 2 et en introduisant des critères de divisibilité. C’est une approche ingénieuse, qui cherche à clarifier la dynamique complexe des suites de Collatz en observant l’influence des puissances de 2 dans les transformations.

Si je comprends bien, ton idée consiste à utiliser ces critères pour évaluer comment les étapes paires affectent la longueur et la structure des suites, et en quelque sorte à simplifier l’analyse des impairs en observant leur comportement sous l'effet de multiples divisions par des puissances de 2.

Je voudrais te proposer une perspective complémentaire, qui pourrait contribuer à ta démarche de simplification : les Suites de Transformations Impaires (STI). Cette approche élimine complètement les étapes paires pour ne conserver que les étapes impaires mais en ajoutant des étapes impaires intermédiaires nécessaires pour comprendre la dynamique des suites (voir mes tableaux précédents). Cela s’apparente, dans un certain sens, à l’introduction de critères de divisibilité, car l'idée derrière les STI est d'intercaler les "étapes intermédiaires" pour ramener les impairs de la forme \( i = 4k+1 \) à leur "i-source", c’est-à-dire à un impair non multiple de 4 : par exemple on peut pour i=13 calculer (13-1)/4 = 3 mais on ne peut plus répéter cette opération pour 3, donc 3 est un i-source . Une fois ces étapes ajoutées, on obtient une suite purement impaire, la STI.

Comparaison avec ton approche

1. Densité des pairs : Là où tu évalues la contribution des étapes paires via des puissances de 2, les STI se concentrent sur la réduction complète des étapes paires. Cela nous permet de voir plus clairement la structure impaire sous-jacente des suites de Collatz, et donc de simplifier les suites en ne traitant que les étapes vraiment déterminantes.

2. Critère de divisibilité : Là où tu utilises les puissances de 2 pour observer la divisibilité des impairs, l’approche des STI propose de simplifier le parcours en observant combien d’étapes intermédiaires sont nécessaires pour "réduire" un impair de la forme \( i = 4k+1 \) à un impair qui ne suit plus cette règle. C'est en quelque sorte une forme de "critère de divisibilité impaire".

3. Arborescence et structure : Les STI, en tant que suite impaire compressée, offrent une vue d’ensemble claire des "nœuds" dans le parcours vers 1, là où les impairs changent de direction (les i-source étant les noeuds de cette arborescence). En ce sens, l’arborescence que nous obtenons en transformant les suites de Collatz en STI aide à simplifier la compréhension des divisions successives des impairs, comme tu le fais en décomposant via des puissances de 2.

Pourquoi les STI peuvent-elles enrichir ton approche ?

L’avantage des STI est qu’elles offrent un cadre qui élimine le bruit des étapes paires, permettant de se concentrer sur ce qui est essentiel dans le parcours vers 1. En compressant ainsi les suites, nous découvrons une structure plus ordonnée et des invariants qui nous aident à mieux comprendre la dynamique des suites. En appliquant l’algorithme W, D, V (qui remplace directement les étapes paires par des étapes impaires correspondantes), on peut non seulement simplifier l’analyse, mais aussi éviter les complexités inutiles liées aux étapes paires.

Je pense que ton travail sur la densité des paires et l'étude des puissances de 2 pourrait bénéficier de cette approche complémentaire pour évaluer comment les impairs se transforment lorsqu'on élimine ces paires, tout en conservant une analyse fine des transformations.

Qu'en penses-tu ?

PS : compares les deux séries que tu as proposées dans ton message précédent :

67-202-101-304-152-76-38-19-58-29

447−1342−671−2014−1007−3022−1511−4534−2267−6802−3401−10204−5102−2551

avec les STI  de 67 et de 447 :

67, 101, 25, 19, 29, 7, 11, 17, 13, 3, 5, 1
et

447, 671, 1007, 1511, 2267, 3401, 2551, 3827, 5741, 1435, 2153, 1615, 2423, 3635, 5453, 1363, 2045, 511, 767, 1151, 1727, 2591, 3887, 5831, 8747, 13121, 9841, 7381, 1845, 461, 115, 173, 43, 65, 49, 37, 9, 7, 11, 17, 13, 3, 5, 1

Le segment L=8 de transformations impaires qui part de 67 et passe par 29 après 4 opérations est :

3-->5-->9-->3-->13-->7-->11-->1 et cela implique que i =67 est de la forme 2^14*x-16317 (pour x=1)

Le segment L=8 de transformations impaires qui part de 447 et passe par 2551 après 6 opérations est :

15-->15-->15-->7-->11-->9-->7-->3 et cela implique que i =447 est de la forme 2^12*x-3649 (pour x=1)

Ces trajets de 8 transformations sont dans le graphe 2 invariants (parmi 8*3^7 possibles) et tout impair en 2^14*x-16317 ou 2^12*x-3649 y passera.