$I$ intervalle tel que $\lambda(I)\equiv{}0\quad(\text{mod.}\,2\pi)$

marc 1

Bonsoir,

J'ai lu plusieurs PDF sur la trigonométrie niveau 1ère.

Il a une question dont je n'ai pas trouvé la réponse.

En effet, j'ai remarqué que les auteurs utilisés différents intervalles mais ils n'expliquaient pour quoi il utilisaient l'un ou l'autre. C'est à dire pourquoi dans certains cas ils supprimaient une valeur de l'intervalle. Quel intérêt ?

Exemples :

[−𝜋 ; 𝜋] et ]−𝜋 ; 𝜋]

[0 ; 2𝜋] et [0 ; 2𝜋[

[−2𝜋 ; 2𝜋] et [−2𝜋 ; 2𝜋[

Avec tous mes remerciements pour le temps que vous prendrez pour me répondre.

gerard0

Bonjour.

Le principe d'une preuve mathématique est qu'elle fonctionne :  en utilisant les hypothèses et les règles mathématiques, on arrive au résultat voulu. Il n'est pas nécessaire de dire pourquoi on a procédé ainsi, ce qui compte c'est la rigueur du procédé. Donc ta question n'a pas de réponse globale.

Les intervalles ]−𝜋 ; 𝜋], [−𝜋 ; 𝜋[ et [0 ; 2𝜋[ permettent de n'avoir qu'une seule valeur pour chacun des ponts du cercle (et il y en a plein d'autres, moins souvent utilisés). Mais s'il n'est pas nécessaire d'avoir une seule valeur, on peut prendre [−𝜋 ; 𝜋] ou

[−2𝜋 ; 2𝜋] par exemple.

Sur une preuve particulière, ou une formule particulière, on trouve généralement facilement pourquoi un intervalle particulier a été choisi. Très souvent ça apparaît comme argument de preuve, ou nécessité pour que la formule soit juste.

Donc je t'engage à rechercher dans le raisonnement où l'intervalle intervient. Si tu n'y arrives pas, donne une copie (scan ou photo) du passage complet.

Cordialement.

NB : dans de nombreux cas, on peut prendre ]−𝜋 ; 𝜋], [−𝜋 ; 𝜋[ ou [0 ; 2𝜋[ au choix sans que ce choix soit impératif; dans ce cas, c'est la liberté de l'auteur.

lourrran

pourquoi dans certains cas ils supprimaient une valeur de l'intervalle. Quel intérêt ?

Pour ma part, j'ai pour règle : une démonstration doit démontrer le résultat voulu, pas moins que le résultat voulu, et pas plus que le résultat voulu.  (bof... c'est pas très bien exprimé.... mais la suite va peut-être éclairer le propos)
Du coup, si j'ai une fonction périodique de période $2\pi$ et que je dois démontrer un résultat pour cette fonction, je vais prendre un intervalle de type $[a, a+2\pi[$ ou bien $]a,a+2\pi]$ ; donc un intervalle semi-ouvert.
Je ne vais pas prendre $]a, a+2\pi[$ , parce que ce serait 'moins que le résultat voulu'.
Et je ne vais pas prendre $[a, a+2\pi]$ , parce que ce serait 'plus que le résultat voulu' : le point $a$ a été traité 2 fois.

Sauf bien sûr si on parle de continuité  par exemple, où on peut avoir besoin de prendre l'intervalle fermé.

Si je traite $[a, a+2\pi]$ alors que $[a, a+2\pi[$ était suffisant, l'élève pointilleux va se demander : pourquoi ils ont ajouté $\{a+2\pi\}$ alors que ce n'était pas utile.
Pas moins que le résultat voulu, et pas plus que le résultat voulu, c'est la règle.

JLapin

lourrran a dit :

Pour ma part, j'ai pour règle : une démonstration doit démontrer le résultat voulu, pas moins que le résultat voulu, et pas plus que le résultat voulu.

Pour ma part, j'ai une règle : que les explications données en réponse à un post aient un sens. Ce n'est pas très bien exprimé mais la suite va éclairer le propos.

lourrran a dit :
Du coup, si j'ai une fonction périodique de période $2\pi$ et que je dois démontrer un résultat pour cette fonction, je vais prendre un intervalle de type $[a, a+2\pi[$ ou bien $]a,a+2\pi]$ ; donc un intervalle semi-ouvert.

Cette phrase n'a pas de sens. Que signifie "prendre un intervalle" ?

Après, je reconnais bien volontiers que la question initiale n'a pas de sens non plus et c'est ce qui me semble prioritaire à signaler à l'OP.

@marc 1  

On dit souvent qu'il n'y a pas de questions idiotes mais il y a quand même beaucoup de questions mal posées, par paresse intellectuelle ou négligence, ou par habitude d'avoir un prof en face de soi : "monsieur, j'ai pas trop compris ce truc au tableau, pourquoi là vous enlevez $\pi$ et pas ici"

Si tu veux progresser significativement en maths avec ce forum, fais l'effort intellectuel de poser des questions complètes, en présentant le contexte, les notations, le point qui te pose problème dans la correction ou l'endroit où tu bloques dans ta recherche. Ne te contente pas de la facilité d'un

 "pourquoi y a des endroits où on utilise l'intervalle $[-\pi,\pi[$ et d'autres où on travaille sur $[-\pi,\pi]$, vous voyez bien ce que je veux dire, cela va sans dire, je n'ai pas besoin d'en dire plus"

Pas moins que le résultat voulu, et pas plus que le résultat voulu, c'est la règle.

Bizarre comme règle. Je ne vois aucune raison d'être malheureux d'avoir démontré une propriété un peu plus forte que l'énoncé pour résoudre un exercice.

lourrran

Je me suis donc mal exprimé, mais je le sentais bien.

Si l'intervalle [a,b[ suffit, parce qu'ensuite la propriété est généralisable à R, par périodicité, le fait de travailler sur un intervalle plus petit que ]a,b[ va donner une démonstration fausse, incomplète, et le fait de travailler sur un intervalle plus grand que [a,b[ fait planer un doute : pourquoi l'élève a-t-il pris un intervalle plus grand que le minimum nécessaire ? est-ce qu'il a fait ça en conscience, ou machinalement par fainéantise etc etc.

En fait, c'est : pas moins que les conditions nécessaires, et pas plus que les conditions suffisantes.

marc 1

Prenons le cas des intervalles  [−𝜋 ; 𝜋] et ]−𝜋 ; 𝜋]

Dans cette vidéo, la prof nous indique que par convention on doit utiliser uniquement ]−𝜋 ; 𝜋]

https://www.youtube.com/watch?v=DvCXjoMAJ7o

Fait-elle une erreur en indiquant cela ?

Sur plusieurs PDF, il y a la définition suivant :

Définition : La mesure principale d'un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres, se situe dans l'intervalle ]−𝜋 ; 𝜋].

Pourquoi −𝜋 est exclu ?

Pour finir sur d'autres PDF, les auteurs utilisent les deux intervalles [−𝜋 ; 𝜋] et ]−𝜋 ; 𝜋]

Math Coss

Dans le cas de la mesure principale, c'est très clair : un angle plat admet pour mesures $-\pi$ et $\pi$ : laquelle veut-on appeler la mesure principale ? C'est un choix, qui a été fait par d'autres il y a longtemps, de conserver $\pi$ et d'exclure $-\pi$.

biely

@marc1
Montre nous tes extraits du pdf où il y a les intervalles [-$\pi;\pi$] et [-$2\pi;2\pi$] ce sera plus clair.

gerard0

Bonjour Marc1.

Historiquement, on a commencé à travailler avec les angles géométriques et leurs mesures, entre 0 et $\pi$. Lorsqu'on a défini la mesure principale des angles orientés, on a bien sûr conservé cet intervalle $[0,\pi]$, agrandi pour avoir une seule valeur à $2\pi$ près.

C'est aussi pourquoi on utilise aussi souvent $[0, 2\pi[$, qui donne une mesure unique pour chaque angle.

Cordialement.