Analyse harmonique?

Calembour

Bonjour,

En ce moment, malgré mon M2 je découvre l'analyse harmonique au travers d'un chapitre d'un livre d'analyse fonctionnelle traitant de manière très superficielle le sujet

J'ai cherché un petit de quoi il était question et voici quelques mots clefs que j'ai trouvé : groupe topologique, groupe localement compact, analyse harmonique sur les groupes abéliens finis, dualité de pontriaguine etc.

J'aurais plusieurs questions autour de tout cela : 
- À quoi ça sert concrètement ? est-ce que cela peut apporter une plu value dans la compréhension des mathématiques ?
- Pourquoi ai-je l'impression que c'est quand meme rarement enseigné dans un cursus mathématiques ''classique'' (ça ne m'a pas l'air si compliqué que ça)
- Est-ce que vous auriez une référence (anglais ou français) assez encyclopédique et détaillée sur le sujet ?

Merci
calembour

Manda

Bonjour, 

- L'analyse harmonique abstraite, de façon générale, désigne l'étude des groupes d'un point de vue analytique, c'est-à-dire qu'on s'intéresse pas au groupe en lui-même, mais aux fonctions définies sur le groupe.  Elle étend l'analyse harmonique classique, ou analyse de Fourier, qui concerne tout ce qui touche à la transformée de Fourier et aux séries de Fourier (et tout le monde sait à quel point l'analyse de Fourier c'est hyper utile). Puisque les groupes sont omniprésent en mathématiques, les applications de l'analyse harmonique sont vraiment nombreuses. 

- L'analyse harmonique sur les groupes localement compacts requiert, en plus de connaissances solides en analyse abstraite (topologie, théorie de la mesure), un large bagage d'analyse fonctionnelle (espaces de Banach, espaces de Hilbert, algèbres de Banach,...), nécessitant parfois l'emploie d'outils assez sophistiqués comme les C*-algèbres, ou les algèbres de von Neumann. Donc c'est assez difficile d'enseigner la théorie générale dans un seul cours. En pratique on enseigne l'analyse harmonique classique, c'est-à-dire sur l'espace euclidien $\mathbb{R}^d$ (ce qui revient à étudier la transformée de Fourier classique) ou le tore $\mathbb{T}$ (ce qui revient à étudier les séries de Fourier).

- Pour la théorie générale, les références que je conseille sont : Principles of Harmonic analysis de Deitmar, ainsi que Classical harmonic analysis and locally compact groups de Reiter & Stegeman. Le premier est assez facile à lire, et offre une bonne introduction à la théorie des opérateurs. Le second est plus encyclopédique, mais plus difficile à lire.

Math Coss

Je suggérerais volontiers de jeter un œil au livre de Jacques Faraut Analyse sur les groupes de Lie chez Calvage et Mounet.

Calembour

Merci pour vos retours

En faisant quelques recherches j'ai aussi trouvé "l'algèbre discrète de la transformée de Fourier" de Gabriel Peyré. Mais je ne sais pas quoi en penser, je ne sais pas si ça cible précisément l'analyse harmonique

Math Coss

Pas vraiment. Je dirais que si c'est intellectuellement proche, c'est techniquement éloigné de l'analyse harmonique traditionnelle. Le terme « discret » dans le titre indique qu'on évacue l'analyse en remplaçant les groupes topologiques par des groupes finis : $\Z/n\Z$ une bonne partie du livre, un groupe fini quelconque dans le dernier quart (je ne sais pas si le titre veut évoquer Le Charme discret de la bourgeoisie).

Cela dit, même s'il ne parle pas du sujet prescrit, le livre est très bon : il explique clairement l'algèbre et fait la part belle aux applications, notamment en traitement de l'image. Il y a une table des matières, des images, des programmes et pas mal d'autres choses sur le « site de promotion du livre ».

Bibix

C'est quand même enseigné dans beaucoup de disciplines. J'ai déjà vu figurer la dualité de pontryagine dans un cours de ML alors bon...

P.2

Enorme difference entre les groupes commutatifs et les autres. Mais pour commencer  petit, avec le cas commutatif il faut lire les deux premiers chapitres de Rudin, Fourier Analysis on Groups1963 qui existe en Dover. Et aussi 'The Haar Measure' 1961 de Leopoldo Nahbin pour voir ou on met les pieds dans le cas non commutatif.

Georges Abitbol

Comme référence encyclopédique, il y a aussi Hewitt et Ross, Abstract Harmonic Analysis. Mais c'est en deux volumes épais...

Calembour

Bonjour,

J'ai vu aussi le livre "SL_2(R)" de Serge Lang, vous en pensez quoi ?

Poirot

Un truc indigeste, comme la plupart des livres de Lang...

Georges Abitbol

Je ne l’ai pas lu, mais mieux vaut s’y connaître un peu en analyse harmonique sur les groupes abéliens avant de commencer l’étude de celle sur les groupes pas commutatifs…

Calembour

Merci pour vos retours, je pense que je vais me concentrer sur le Principle of Harmonic Analysis pour commencer