Fermat matriciel

Hypocrates

Est-ce qu'il existe des matrices qui commutent $a, b,c\in M_2({\bf Z})$ telles que
$$
a^n + b^n = c^n
$$
Pour $n\geq 3$?

Heuristique

On a déjà plus de possibilités que le Fermat usuel, ne serait-ce qu'en jouant avec des matrices nilpotentes.

etanche

En effet $a,b,c$ des matrices nilpotentes en taille en 2, l’équation de Fermat est vérifiée pour tout n>2. 

plsryef

ou avec des des projecteurs pour a et b et l'identité pour c.

Héhéhé

Voir ici : https://mathoverflow.net/questions/352699/fermats-last-theorem-for-integer-matrices

Hypocrates

À part les cas triviaux, y a-t-il des solutions pour des valeurs propres distinctes et non nulles ?

JLapin

As-tu examiné les exemples de mathoverflow avant de poser ta question ?

Rescassol

Bonjour,

Tant qu'on y est, sait-on quels sont les nombres de la forme $x^3+y^3$ avec $x,y\in\mathbb{N}$, par exemple ?

cordialement,
Rescassol

JLapin

Je crois que tu as la réponse ici

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/Partiti2.htm#Som2cub

Rescassol

Bonjour,

Merci, JLapin.
Soyons fous.: et $x^3+y^3=z^3$ en quaternions rationnels ?

Cordialement,
Rescassol

Chaurien

Il y a aussi le Grand Théorème de Fermat pour les polynômes, sur quoi pas mal de choses ont été écrites...

Chaurien

@Rescassol

https://oeis.org/A003325 Numbers that are the sum of two positive cubes.

https://oeis.org/A181123 Numbers that are the differences of two positive cubes

https://oeis.org/A159843 Sums of two rational cubes

Un entier qui est somme des carrés de deux  rationnels est nécessairement somme des carrés de deux  entiers.

Par contre, un entier peut être somme des cubes de deux rationnels sans être somme des cubes de  deux entiers, positifs ou négatifs.

Il y a une abondante littérature sur le sujet, notamment à propos des nombres qui sont sommes de deux cubes entiers de plusieurs manières (« taxicab numbers »).

Je viens de retrouver un vieil article qui prouve que tout entier positif est somme de 8 cubes d'entiers positifs ou nuls ... sauf 23 et 239 (L. E. Dickson, 1939). Étonnant, non ?

Bonne soirée.

Fr. Ch.