Exercice sur les bases de numération (donné dans les années 50 en terminale Sciences Ex)

jf.alcover

En base 12 un nombre s'écrit "abc"

en base inconnue B il s'écrit "abc0"

Quel est ce nombre et quelle est la base B ?

Rescassol

Bonjour,

$a=2,b=2,c=3,B=5$ et $315$ en base $10$.

Cordialement,
Rescassol

gai requin

C'est $315$ qui s'écrit $223$ en base $12$ et $2230$ en base $B=5$.

bisam

En fait, il y a au total 11 solutions si l'on s'autorise à prendre $a$ nul, seulement 7 solutions si $a\neq 0$ et $b,c$ quelconques, et  plus que 5 si l'on élimine les solutions où $b$ ou $c$ sont supérieurs ou égaux à 10.

Il est facile de les obtenir avec un peu d'informatique :

def to_base_b(n: int, b: int) -> list[int]:
    r = []
    while n:
        r.append(n%b)
        n //= b
    return r

def to_base_10(r: list[int], b: int) -> int:
    n = 0
    for c in r[::-1]:
        n = n*b + c
    return n

for n in range(1, 12**3):
    l = to_base_b(n, 12)
    for B in range(2, 12):
        if to_base_10([0] + l, B) == n:
            print(f"Le nombre {n} s'écrit {l[::-1]} en base 12 et {l[::-1]+[0]} en base {B}.")

On obtient la réponse suivante :

Le nombre 20 s'écrit [1, 8] en base 12 et [1, 8, 0] en base 2.
Le nombre 27 s'écrit [2, 3] en base 12 et [2, 3, 0] en base 3.
Le nombre 54 s'écrit [4, 6] en base 12 et [4, 6, 0] en base 3.
Le nombre 81 s'écrit [6, 9] en base 12 et [6, 9, 0] en base 3.
Le nombre 315 s'écrit [2, 2, 3] en base 12 et [2, 2, 3, 0] en base 5.
Le nombre 455 s'écrit [3, 1, 11] en base 12 et [3, 1, 11, 0] en base 5.
Le nombre 630 s'écrit [4, 4, 6] en base 12 et [4, 4, 6, 0] en base 5.
Le nombre 805 s'écrit [5, 7, 1] en base 12 et [5, 7, 1, 0] en base 5.
Le nombre 945 s'écrit [6, 6, 9] en base 12 et [6, 6, 9, 0] en base 5.
Le nombre 1120 s'écrit [7, 9, 4] en base 12 et [7, 9, 4, 0] en base 5.
Le nombre 1435 s'écrit [9, 11, 7] en base 12 et [9, 11, 7, 0] en base 5.

gai requin

Mon raisonnement en rajoutant $a\neq 0$ à l'énoncé.
On a $c(B-1)+b(B^2-12)+a(B^3-144)=0$ donc $B\leq 5$.
Si $B=2$, $c=8b+136a$ : impossible.
Si $B=3$, $2c=3b+117a$ : impossible.
Si $B=4$, $3c+4b=80a$ donc $c=0$ et $b=20a$ : impossible.
Si $B=5$, $4c+13b=19a$ donc $c\equiv8a\bmod 13$ donc $a=2$, $c=3$ qui donnent $b=2$.

lourrran

@Bisam ..
Oui, sauf que en base 5, les 3 chiffres a,b,c doivent être inférieurs à 5.

Avec les outils d'un lycéen de 1950, comment peut on avancer ..
On cherche donc un nombre $n$ , et une base $r$  (forcément $r < 12$) qui vérifient $n=144 a+ 12 b + c = a r^3 + b r^2 + c r $
Donc en particulier :
$a (r^3-144) + b (r^2-12) + c (r-1) = 0$
Si on se limite aux cas $a \neq 0$, pour $r\neq 5$, le terme $(r^3-144)$ va être 'grand' en valeur absolue et on a peu d'espoir d'annuler cette expression. 
Regardons uniquement  le cas r=5 
$ - 19 a  + 13 b  + 4 c  = 0$
avec $a,b,c$ tous les 3 inférieurs à 5.
On explore les 25 couples (a,b) possibles, on regarde si le résultat $19 a -13 b$ est parmi (0,4,8,16) 

gai requin

@bisam : $180$ ne peut pas être l'écriture d'un entier en base $2$ !

Rescassol

Bonjour,

Bisam, en base $5$, il ne peut pas y avoir de symbole représentant un nombre supérieur ou égal à $5$.
Donc $a,b,c < 5$.

Cordialement,
Rescassol

jf.alcover

Merci à tous - Il me semblait toutefois implicite qu'il fallait se mettre à la place d'un lycéen des années 50

jf.alcover

Pour les plus anciens : << A vendre Ford Consul 315, année 1961 ... >>  (lu sur Le Bon Coin)

bisam

Oups, j'ai oublié d'ajouter une vérification sur les chiffres en base B, vous avez raison...

En modifiant la ligne

      if to_base_10([0] + l, B) == n:

en

      if (all(c < B for c in l) and (to_base_10([0] + l, B) == n):

, on obtient bel et bien l'unique solution trouvée auparavant. Désolé pour le bruit.

Piteux_gore

Partant de $19a - 13b - 4c = 0$, on montre que $3a - 2c = 13k$ avec $1 \le a \le 4, 0 \le c \le 4$... D'où $a = 2, c = 3$.

Piteux_gore

Pour montrer que $B = 5$, il suffit de remarquer que $64a + 16b + 4c < 144a + 12b + c < 216a + 36b + 6c$.
La condition $13b + 4c = 19a = 19, 38, 57, 76$ permet d'éliminer illico les cas $a = 4, b = 0, c = 0, b = c$ (car $19, 38, 57$ ne sont pas multiples de $4, 13, 17$) et, de là, les cas $a = 1, a = 3$.