Réciprocité quadratique sans peine

stfj

Bonjour

C'est ce que promet l'auteur de l'article suivant(2.3, p 11/22), en utilisant une loi de groupes sur les coniques$^1$(2.1,p.5/22). 

J'ai utilisé la loi de réciprocité quadratique récemment pour étudier le test de Pépin. Et me suis un peu intéressé aux coniques.

J'espère donc que vous pourrez dans un premier temps donner votre avis sur la validité de l'affirmation de l'auteur. Puis des pistes pour comprendre cette "démonstration sans difficulté".

Si je ne parviens pas à vous suivre(je vais me replonger dans l'article et poser des questions sur des passages que je ne trouve pas clairs pour moi), j'espère que cette promesse d'absence de difficulté en satisfera d'autres.

Cordialement.

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$1.-$ https://www.association-tremplin.org/Documents/Eleves/Apres/M1ArithmetiqueMHindry.pdf

JLapin

Oui, et Armand Duplantis saute régulièrement sans difficulté au dessus de 6m...

Je n'arrive pas à décider si ton message est du premier degré ou du troisième degré en fait.

stfj

C'est du premier degré : j'avais commencé à lire cet article il y a quelques mois à propos d'une discussion sur les coniques, à la suite de laquelle des recherches sur internet m'avaient fait tomber sur cet article. Je l'avais trouvé bien écrit : l'auteur fait des efforts pour se rendre compréhensible même par des non-spécialistes, il ne fait pas d'épate, au contraire il signale avec franc-parler des passages un peu plus ardus... Je l'ai conservé surtout pour éclaircir ce paragraphe 2.3. 

Comme je me remets à l'arithmétique via le test de Pépin, je me dis que c'est l'occasion de le faire en espérant l'aide de membres de les-mathématiques.net, qui m'a été offerte à propos du test de Pépin par exemple. Tu m'as toi-même aidé en validant l'une de mes affirmations. @Paul Broussous m'avait fourni de façon quasi-immédiate les bonnes pistes pour bien comprendre le test de Pépin, en m'invitant à admettre dans un premier temps la loi de réciprocité quadratique.

S'il est vrai qu'on peut démontrer sans difficulté la loi de réciprocité quadratique avec quelques connaissances sur les coniques, je suis preneur. J'ai pu dire et répéter sur le sous-forum géométrie à quel point la géométrie pour la géométrie ne m'intéresse pas beaucoup. Mon intérêt étant ailleurs. J'ai fait pas mal d'efforts pour quelques connaissances en apparence gratuites de géométrie. Il est temps que ça paie !

JLapin

Il y a des démonstrations de la réciprocité quadratique beaucoup plus abordables (selon moi), comme celle fournie en appendice du cours de Serre

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/Livres/Serre_cours_d\'atithmetique.pdf

Page 11 du pdf.

stfj

Je note l'exemple d'utilisation par Serre de la loi de réciprocité quadratique de Gauss p18 : $$\boxed{\left( \frac{29}{43} \right)\overset{\text{1}}{=} \left( \frac{43}{29} \right)\overset{\text{2}}{=} \left( \frac{14}{29} \right)\overset{\text{3}}{=} \left( \frac{2}{29} \right)\left( \frac{7}{29} \right)\overset{\text{4}}{=} -\left( \frac{7}{29} \right)\overset{\text{5}}{=} -\left( \frac{1}{7} \right)\overset{\text{6}}{=} -1}$$

Donc $29$ n'est pas un carré de $\Z/43\Z$. Serre ne s'est pas trompé : 

n n²
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 6
8 21
9 38
10 14
11 35
12 15
13 40
14 24
15 10
16 41
17 31
18 23
19 17
20 13
21 11

stfj

On admettra j'espère que la lecture du paragraphe 1.1 de l'exposé de Bruno Winckler rassure sur le fait qu'on ne va pas avoir un exposé aux exigences formelles telles qu'il faille deux pages pour redémontrer que $$2+2=4$$ou que deux droites $D$ et $D'$ de $\mathbb P^2$ définissent un unique point d'intersection noté $D\cap D'$. Le paragraphe 1.2 est une suite de rappels classiques. Contrairement à ce qui est écrit, le théorème de Pascal n'est pas pénible à démontrer, à condition de disposer des bons outils(point n°4 de cette discussion.) Après ces rappels succints bienvenus, on arrive rapidement et directement à la loi de groupe sur une conique.

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A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen mediocre papers. (Littlewood)

hx1_210

Merci @JLapin pour ce document qui me rappelle mon mémoire de maitrise portant sur la fonction entre autre sur la forme Delta.

stfj

Pour justifier l'égalité 6 de la suite d'égalités de Serre donnée plus haut en encadré, il suffit de remarquer que $1=1^2$ est toujours un carré. Ici, $$\left( \frac{1}{7} \right)=1$$Je justifie ici, alors que Serre écrit page 16 que "[cette formule] ne mérite pas qu'on la démontre". En revanche, Hardy et Wright lui accordent une ligne dans le §6.6 de An introduction to the theory of numbers.

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L'égalité 4  indique que $2$ n'est pas un carré de $\Z/29\Z$

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sagemath, via

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print("n","n²")
for i in range (1,15):
    print (i, i*i%29)

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fournit

n n²
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 7
7 20
8 6
9 23
10 13
11 5
12 28
13 24

et le confirme.

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On a revu en étudiant le test de Pépin, que $$\forall a\in (\Z/p\Z)^*,\,\left( \frac{a}{p} \right)=a^{\frac{p-1}{2}}$$. Donc $\left( \frac{ab}{p} \right)=\left( \frac{a}{p} \right)\left( \frac{b}{p} \right)$, ce qui justifie l'égalité 3.

stfj

Définissons avec Serre, pour $n$ un entier impair, $$\epsilon(n)\equiv \frac{n-1}{2}\mod 2=\begin{cases} 0&\text{ si } n\equiv 1 \mod 4 \\ 1& \text { si } n\equiv -1 \mod 4\end {cases}$$Alors la loi de réciprocité quadratique s'énonce  $$\boxed{\text{ THEOREME }6\text{(Gauss)}.- \text{On a} \left( \frac{l}{p} \right)=\left( \frac{p}{l} \right)\times(-1)^{\epsilon(l)\epsilon(p)}, l, p \text{  premiers distincts différents de }2.}$$

D'après le théorème 6, $$\left( \frac{29}{43} \right)\overset{\text{1}}{=} \left( \frac{43}{29} \right)\text{ puisque }(29\equiv 1\mod 4)$$ $$\left( \frac{7}{29} \right)=\left( \frac{29}{7} \right)\overset{\text{5}}{=} \left( \frac{1}{7} \right)\text{ puisque d'une part }(29\equiv 1\mod 4)\text{ et d'autre part }(29\equiv 1\mod 7)$$

On trouvera le théorème 6, p16 dans le lien fourni par @JLapin . On pourra remarquer p18 que Serre reprend des notations $aRp$ et $aNp$, qu'on peut trouver chez Hardy et Wright par exemple.

stfj

L'introduction en début du §2/4 de $\mathbb P^1(\mathbb Q)$ est peu claire. Il n'est même pas fait mention du fait que l'ensemble des droites passant par un point $P$ à coordonnées rationnelles de la conique $\mathscr C$ et à pente rationnelle forme un faisceau de droites, autrement dit une droite du dual de $\mathbb P^2(\mathbb Q)$, qu'on identifie à $\mathbb P^1(\mathbb Q)$. Ni même expliqué pourquoi $P_{\mathscr D}$ est lui-même à coordonnées rationnelles.

L'exemple 1 qui suit est plus intéressant https://www.geogebra.org/classic/bqueyaxj

Soit $(x,y)=(x,t(x+1))$ un point du cercle d'équation $x^2+y^2=1$. On a $x^2+t^2(x+1)^2-1=0$ donc $$x^2(t^2+1)+2t^2x+t^2-1=0$$équation du second degré en $x$ $$\Delta'=1$$ $$x=\frac{-t^2\pm 1}{1+t^2}=-1,\frac{-t^2+ 1}{1+t^2}$$ $$y=0, \frac{2t}{1+t^2}$$

gebrane

Voici une preuve avec peine https://progresser-en-maths.com/loi-de-reciprocite-quadratique-enonce-et-demonstration/#google_vignette

jelobreuil

Bonsoir Stéphane

Mes souvenirs sont exacts, je viens de le vérifier : il devrait y avoir un signe "moins" devant t² au numérateur ...

Bien cordialement, JLB

stfj

Bonsoir Jean-Louis

Oui merci j'ai corrigé : mes souvenirs étaient inexacts , je croyais que c'était $\frac{\color{red}+\color{black}b'\mp \sqrt{\Delta'}}{a}$ Cela me rappelle l'anecdote vraie et fictive sur Kummer et ses étudiants qui avaient oublié combien font $$9\times 7$$

stfj

Avec @JLapin et @gebrane, après relecture, je dois dire que l'article mis en lien n'est pas forcément le plus adapté pour comprendre la démonstration de la loi de réciprocité quadratique. De l'aveu même de son auteur, c'est inachevé et probablement plus adapté à l'exposé oral qu'il devait structurer qu'à une classique démonstration.

Par contre, les références fournies par @JLapin et @gebrane semblent intéressantes. Pour ma part, je vais donc poursuivre dans ces voies.

Le LEMME de Gauss

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Soit $p$ un nombre premier $\neq 2$ et $S=\{1,...,\frac{p-1}{2}\}\subset \mathbb F_p^*$.

Si $s\in S$ et $a\in \mathbb F_p^*$, on peut écrire $as$ sous la forme $$as=\epsilon_s(a)s_a,\text{   avec  }\epsilon_s(a)=\pm 1, s_a\in S$$Alors $$\left( \frac{a}{p} \right)=\prod_{s\in S}^{}\epsilon_s(a)$$

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ne présente pas de difficulté. Pas plus que le reste de la démonstration que je me suis contenté de survoler. Je commence à partager alors l'avis de @JLapin (merci) sur cette démonstration attribuée à G.Eisenstein en 1845 dans le Journal de Crelle et donnée en appendice par Serre.

Math Coss

stfj a dit :

la démonstration de la loi de réciprocité quadratique

Comme on l'a déjà mentionné sur le forum, la loi de réciprocité quadratique est sans doute l'un des théorèmes dont on connaît le plus grand nombre de démonstration. Franz Lemmermeyer en recense 345 à ce jour. Alors, pour toi qui fais attention distinguer article défini et article indéfini, « la démonstration » ne convient pas...

stfj

J'essayais justement de lire une démonstration proposée par Marc Hindry dans le lien que j'ai fourni dans OP.

Chaurien

@stfj nous fait part en temps réel de ses engouements successifs, avec une spontanéité tout à fait sympathique. Mais un examen plus complet de la question le conduit cette fois à rétropédaler. Cette démonstration de la Loi de Réciprocité Quadratique (LRQ) n'est pas tellement « sans peine » puisqu'elle demande au moins la « peine » de s'assimiler les dix pages qui précèdent.

Comme le rappelle @Math Coss, et comme je l'ai plusieurs fois indiqué sur ce forum, la LRQ est sans doute le théorème qui a  eu le plus de démonstrations dans l'histoire des mathématiques, ex æquo avec le théorème de Pythagore, lequel n'a aucun mérite puisqu'il précède la LRQ d'environ trois mille ans.  Comme le rappelle aussi @Math Coss , Franz Lemmermeyer tient depuis longtemps la liste de ces démonstrations, et  il en est effectivement aujourd'hui à 345 :

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~flemmermeyer/qrg_proofs.html

Chacun peut faire le choix de sa préférée, en fonction de ses goûts mathématiques.

À mon avis, la démonstration la plus simple est la troisième de Gauss (1808), revue par Eisenstein en 1844. J'ai fait un petit article sur le sujet dans le numéro de Tangente Hors-série. N° 6, Arithmétique - Secrets de Nombres, 1998.

https://publimath.univ-irem.fr/biblio/AAT98002.htm

 Il est accessible à un élève de Terminale  de 2024 qui étudie l'arithmétique en  « mathématiques expertes », comme on dit aujourd'hui.

La version publiée dans Tangente est charcutée, tronquée et  coupée  en  deux, avec un morceau  dans  un « supplément pédagogique » dont j'ignore le destin. Alors je joins la version complète et non expurgée.

Bonne après-midi.

Fr. Ch.

22/09/2024

Le 22 septembre, aujourd'hui, je m'en fous

Et c'est triste de n'être plus triste sans vous