Détermination de l'image directe

Amadou

Bonjour,

En cherchant des exemples par moi-même pour voir ce qui se passerait si je prenais un exemple au hasard en appliquant toutes les méthodes qui me viendront à l'esprit pour comprendre comment trouver l'image directe de cette fonction.
\begin{align}
f  : \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ t & \longmapsto t^2 - 2t + 1. \end{align}

Déterminons l'image directe par $f$ de l'intervalle $[1, 4]$.

1ère méthode :

Soit $x \in \mathbb{R}, \, x \in [1, 4]$. On a : \begin{align}
1 \leqslant x \leqslant 4 & \iff 1 \leqslant x^2 \leqslant 16. \qquad (*) \\
1 \leqslant  x \leqslant 4 & \iff -8 \leqslant -2x \leqslant -2 \iff -7 \leqslant -2x + 1 \leqslant -1. \qquad (**)
\end{align} De (*) et (**), on obtient : $-6 \leqslant x^2 - 2x + 1 \leqslant 15$.
Donc $\boxed{f([1,4]=[-6,1]}$.
2ème méthode :

Soit $t \in \mathbb{R}, \, t \in [1, 4]$. Puisque $t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$. On a
\[1 \leqslant t \leqslant 4 \iff 0 \leqslant t - 1 \leqslant 3 \iff 0 \leqslant (t - 1)^2 \leqslant 9.\] Donc $\boxed{f([1,4]=[0,9]}$.

3ème méthode :

Par analyse graphique on a $\boxed{f([1,4]=[0,9]}$.
Je ne comprends pas pourquoi je n'obtiens pas le même résultat ?

DeGeer

Bonjour 
Ta première méthode ne fonctionne pas car tu as fait comme si le $x$ de chaque encadrement pouvait varier indépendamment dans chaque encadrement. Notamment, la valeur de $x$ qui minimise $x^2$ ne sera pas celle qui minimisera $1-2x$.

gerard0

Bonjour.

Il est très étonnant que, ayant fait les maths du lycée, tu ne penses pas à l'étude de fonction. Alors que tu parles d'une fonction.

À noter :

* La deuxième méthode est l'utilisation de la "forme canonique" d'un trinôme.

* La méthode graphique ne fonctionnera pas dans la plupart des cas. Le "traceur" se contente de points régulièrement espacés et de les relier, sans s'occuper de ce qui se passe entre ces points.

* Dans ta deuxième méthode, la deuxième équivalence est douteuse (elle ne fonctionne que parce que ici, $t\ge 1$). Une rédaction plus serrée rajouterait cette inégalité à chacun des deux premiers termes.

Pour voir si tu as compris : Qui sont $f([-5,2])$ et $f(\mathbb R)$ ?

Cordialement.

Amadou

DeGeer a dit : 

Ta première méthode ne fonctionne pas car tu as fait comme si le $x$ de chaque encadrement pouvait varier indépendamment dans chaque encadrement.

J'ai vu plein d'exercices résolus de cette manière, et ça m'a donné envie de chercher un contre-exemple pour vérifier si cette méthode est toujours valable.

Je ne comprends pas quand vous dites que « le $x$ de chaque encadrement pouvait varier indépendamment dans chaque encadrement. »

Notamment, la valeur de $x$ qui minimise $x^2$ ne sera pas celle qui minimisera $1-2x$.

Pourquoi ? Pourriez-vous expliquer un peu plus en détail pour que je comprenne bien ?

Amadou

gerard0 a dit :

Il est très étonnant que, ayant fait les maths du lycée, tu ne penses pas à l'étude de fonction. Alors que tu parles d'une fonction.

Moi, je ne dirais pas ça ayant fait des maths au lycée. Au lycée, je prenais tout ce qu'on me disait, me donnait sans vraiment chercher à comprendre pourquoi on fait souvent ça. Le pourquoi me passait au-dessus de la tête. Mais je pense que je n'ai pas trop de mal à faire une étude de fonction, sauf pour les fonctions trigonométriques et logarithmes, qui sont un peu bizarres et difficiles, surtout pour les calculs de limites et la determination du signe de la fonction (qui n'ont pas règle comme pour les autres fonctions (par exemple les fonctions polynômes) à mon avis) .

gerard0 a dit :

À noter :

* La deuxième méthode est l'utilisation de la "forme canonique" d'un trinôme.

* La méthode graphique ne fonctionnera pas dans la plupart des cas. Le "traceur" se contente de points régulièrement espacés et de les relier, sans s'occuper de ce qui se passe entre ces points.

D'accord ! J'ai pris note.

gerard0 a dit :

* Dans ta deuxième méthode, la deuxième équivalence est douteuse (elle ne fonctionne que parce que ici, $t\ge 1$). Une rédaction plus serrée rajouterait cette inégalité à chacun des deux premiers termes.

J'ai remarqué. Au lieu de $t \geqslant 1$, si on avait $t \geqslant a$, avec $a \in \mathbb{R}$ et $|a| < 4$. Donc dans ce cas, je vais faire une étude de signe de $|t - 1|$.

Pour voir si tu as compris : Qui sont $f([-5,2])$ et $f(\mathbb R)$ ?

Pour $f(\mathbb R)$ pas besoin de trop réfléchir. Une simple analyse de la courbe nous donne $f(\mathbb R) =[0, +\infty[$.
Pour $f([-5,2])$. On a $f(-5)=(-5-1)^2=36$ et $f(2)=(2-1)^2=1$. Donc $f([-5,2])=[1,36]$.

DeGeer

Pour $x \in [1,4]$, $x^2$ prend sa valeur minimale en $x=1$ et sa valeur maximale en $x=4$ car la fonction carré est croissante sur cet intervalle. Tandis que sur le même intervalle, $1-2x$ prend sa valeur maximale en $x=1$ et sa valeur minimale en $x=4$ car la fonction $x \mapsto 1-2x$ est décroissante sur l'intervalle.

Amadou

@DeGeer, je vois ce que vous voulez dire. Il faudrait qu'il y ait la même variation pour pouvoir faire les encadrés sur le même intervalle. 

Merci d'avoir clarifié ça. Je vais éviter cette méthode et me concentrer sur l'encadrement avec la forme canonique. Ça m'aidera à faire moins d'erreurs. Merci pour ton aide !

biely

Amadou a dit :Pour $f([-5,2])$. On a $f(-5)=(-5-1)^2=36$ et $f(2)=(2-1)^2=1$. Donc $f([-5,2])=[1,36]$.

@Amadou
Justifie ces ’’donc’’ et tu comprendras tes erreurs.

biely

gerard0 a dit :

Bonjour.

Il est très étonnant que, ayant fait les maths du lycée, tu ne penses pas à l'étude de fonction. Alors que tu parles d'une fonction.

Personnellement cela ne m’étonne pas du tout. Cela fait un moment que pour ce genre d’exercice on guide tellement les élèves qu’ils ne se posent même plus de questions. 
Exemple avec la suite $u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}$ avec $u_{0}=2$ où on doit montrer l’encadrement $1\le u_{n}\le 2$
Si on ne demande pas auparavant de montrer que pour tout n naturel on a $u_{n+1}=2-\frac{5}{u_{n}+4}$ ou montrer que f (où  $u_{n+1}=f(u_{n})$) est croissante sur [1;2] alors on a souvent droit à des hérédités du style:
On a $1\le u_{n}\le 2$ donc $2\le 2u_{n}\le 4$ donc $5\le 2u_{n}+3\le 7$
Et $1\le u_{n}\le 2$ donc $5\le u_{n}+4\le 6$
D’où $1\le \frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}\le\frac{7}{6}\le 2$ (Victoire où l’erreur fatale est passée inaperçue!) 

Calembour

biely a dit :

gerard0 a dit :

Bonjour.

Il est très étonnant que, ayant fait les maths du lycée, tu ne penses pas à l'étude de fonction. Alors que tu parles d'une fonction.

Personnellement cela ne m’étonne pas du tout. Cela fait un moment que pour ce genre d’exercice on guide tellement les élèves qu’ils ne se posent même plus de questions. 
Exemple avec la suite $u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}$ avec $u_{0}=2$ où on doit montrer l’encadrement $1\le u_{n}\le 2$
Si on ne demande pas auparavant de montrer que pour tout n naturel on a $u_{n+1}=2-\frac{5}{u_{n}+4}$ ou montrer que f (où  $u_{n+1}=f(u_{n})$) est croissante sur [1;2] alors on a souvent droit à des hérédités du style:
On a $1\le u_{n}\le 2$ donc $2\le 2u_{n}\le 4$ donc $5\le 2u_{n}+3\le 7$
Et $1\le u_{n}\le 2$ donc $5\le u_{n}+4\le 6$
D’où $1\le \frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}\le\frac{7}{6}\le 2$ (Victoire où l’erreur fatale est passée inaperçue!) 

Je me permets mais c'est... catastrophique non ?

Si il faut mâcher le travail à ce point là je trouve que ça sert à rien

biely

@Calembour
Qu’est-ce qui est catastrophique? L’erreur (assez classique avec la division) ou le ’’mâchage’’ de travail?
Il suffit de feuilleter les exercices de manuels récents pour s’assurer que les élèves sont toujours très guidés dans ce genre d’exercices (c’était déjà un peu le cas auparavant mais cela s’est encore aggravé à mon avis). 

Calembour

biely a dit :

@Calembour
Qu’est-ce qui est catastrophique? L’erreur (assez classique avec la division) ou le ’’mâchage’’ de travail?
Il suffit de feuilleter les exercices de manuels récents pour s’assurer que les élèves sont toujours très guidés dans ce genre d’exercices (c’était déjà un peu le cas auparavant mais cela s’est encore aggravé à mon avis). 

Je dirais le machage de travail

En fait je ne comprends plus l'intérêt de ces exercices. Cela remet en question les mathématiques en tant que discipline au lycée

Si l'objectif en tant que discipline c'est que les élèves ressortent avec un minimum d'autonomie sur ce type de questions (études de suites ou de fonctions qui est le coeur du programme de lycée) alors ce type d'exercice est inadapté car ils ressortent du lycée sans avoir aucune autonomie, il leur faut un énoncé avec des questions intermédiaires pour faire une étude de fonction chose qu'ils n'auront pas plus tard.

Si l'objectif c'est la culture générale, alors autant aller jusqu'au bout, rentrer la suite dans un calculateur formel ou la fonction et hop, ça donne les variations, la limite etc. voire même chat gpt le fait, donc quel intérêt de forcer des élèves à rédiger eux mêmes dans ce cas ? On explique la théorie pour les élèves en guise de culture générale et tous les exos pratiques on les donnent à chat gpt et il les résout (surtout niveau lycée)

Si l'objectif de tout ça c'est juste de préparer aux exos débiles du bac alors c'est bien triste car le bac ne signifie plus rien. Tu peux même avoir 5/20 en maths au bac ça n'influe pas sur ton avenir. Et de toute façon les notes ne veulent plus rien dire aj bac. D'ailleurs ''préparer au bac'' n'est ce pas une aberration ?

Si l'objectif des maths au lycée c'est d'essayer de faire comprendre le programme aux élèves je ne vois pas comment ce type d'exercice très guidé aide à comprendre. Tu le dis toi même, dès que ce n'est plus guidé beaucoup sont perdus. Ils ne parviennent pas à utiliser les outils du cours en autonomie, donc on peut se demander ce qu'ils ont compris (apparemment pas grand chose)