Défi à la suite

MMu

Bonjour amis des maths,  voici un petit défi.
Soit une suite de réels $x_0,x_1,...,x_n,..$ définie par la récurrence $x_{n+2}=\displaystyle\frac {A+x_n^2}{x_n}$ avec $A,x_0,x_1$  entiers strictement positifs.
Montrer que tous les termes de la suite $x_n$ sont entiers "Si et Seulement Si" $A+x_0^2+x_1^2$ est divisible par $x_0x_1$

MMu

Mille excuses, erreur de latex. Je corrige la récurrence
$x_{n+2}=\frac {A+x_{n+1}^2}{x_n}$

Math Coss

Probable faute de frappe : ne serait-ce pas $x_{n+2}=\dfrac{A+x_{n+1}^2}{x_n}$ ?

PS : Visiblement j'ai réagi trop tard sans recharger la page...

Ça rappelle les algèbres amassées qu'on a croisées ici et là.

uvdose

Il est facile de voir que la suite $(u_n)_{n\geqslant0}$ définie par $u_n=\dfrac{x_n+x_{n+2}}{x_{n+1}}$ est constante. Or, si $A+x_0^2+x_1^2$ (égal à $x_0(x_0+x_2)$) est divisible par $x_0x_1$, on a $u_0\in\N$, et la relation $x_{n+2}=u_0x_{n+1}-x_n$ prouve alors que $x_n$ est entier pour tout $n\in\N$.

uvdose

Pour la réciproque : raisonnons par l'absurde en supposant que tous les termes de la suite $(x_n)_{n\geqslant0}$ soient entiers sans que $u_0$ soit entier. Notons $u_0=\dfrac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers tels que $p>0$, $q>1$ et $p\wedge q=1$.
Grâce à la relation $px_{n+1}=q(x_n+x_{n+2})$, on peut montrer par récurrence sur $n\in\N$, la proposition

$\mathcal{P}(n) \,:\; \forall k\in\N\,,\; k\geqslant n\Longrightarrow q^n \;|\; x_k\,.$

On en déduit en particulier que pour tout $n\in\N$, $q^n \;|\; x_n$, et comme $x_nx_{n+2}=A+x_{n+1}^2$, on a $\forall n\in\N$, $q^{2n+2} \;|\;A$, ce qui est absurde.

uvdose

"Petit" exercice qui s'inscrit dans le même paysage : 

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux entiers strictement positifs, et $(a_n)$ la suite définie par $a_0=a_1=a_2=1$ et la relation valable pour tout entier naturel $n$, 
$$a_{n+3}=\dfrac{(a_{n+1}+\alpha)(a_{n+2}+\beta)}{a_{n}}.$$

Déterminer pour quelles valeurs de $\alpha$ et $\beta$ les termes de la suite $(a_n)$ sont tous entiers.