Connexité d'une classe de matrices

gillesR

Bonjour,
J'ai lu dans un cours de prépa que l'ensemble des matrices de taille n, à valeurs dans R ou C, qui ont n valeurs propres deux à deux distinctes était connexe par arcs.
Si le corps est C, j'arrive à peu près à le démontrer: je pars de deux telles matrices M et N. Je chemine dans la classe de similitude de chacune des deux matrices jusqu'à arriver à un représentant diagonal pour chacune d'elles : (faisable car GLn(C) est connexe par arcs). Reste ensuite à trouver un chemin entre ces matrices diagonales. Cela revient à trouver n chemins qui ne se coupent pas entre n points deux à deux distincts de C et n autres points deux à deux distincts également. ce sont des chemins qui relient les valeurs propres respectives. On peut toujours trouver des chemins car il suffit de prendre des représentants diagonaux avec les valeurs propres classées par exemple par partie réelle croissante, et parties imaginaires croissante en cas d'égalité de parties réelles).

J'en viens à ma question : la connexité par arcs me semble compromise si le corps est R. Un argument (non suffisant) est que GLn(R) n'est pas connexe par arcs. Et puis je n'arrive même pas à trouver un chemin qui relie la matrice (0 0 | 0 1) à la matrice (1 0  | 0 0). C'est toujours la non connexité par arcs de GL2(R) qui gêne : impossible de trouver un chemin en restant dans la classe de similitude (c'est prouvé : assez facile : composer un chemin avec le déterminant, en gros)) et pour en sortir l'interversion des éléments diagonaux semble demander la connexité par arcs de GL2(R)...
Mais je n'arrive pas non plus à prouver la non connexité par arcs de cet ensemble de matrices...

Si ça intéresse quelqu'un...

Qu'en pensez-vous ? Merci

Titi le curieux

Bonjour,

  Je crois que ce truc peut t'aider: $\begin{pmatrix} t & \sqrt{t(1-t)} \\ \sqrt{t(1-t)} & (1-t) \end{pmatrix}$ , $\forall t\in [0,1]$.

gillesR

Bravo ! Merci. Effectivement, ça marche

bisam

Pour l'exemple que tu as donné, on peut trouver le chemin suivant :
\[\phi:t\in[0,1]\mapsto \begin{pmatrix}1-t & \sqrt{t(1-t)} \\ \sqrt{t(1-t)} & t\end{pmatrix}\]
Pour le cas général, on doit pouvoir aussi y arriver en utilisant des matrices symétriques.

bisam

En fait pour le cas général, ce n'est pas si dur.

Soit $A$ et $B$ deux matrices réelles ayant $n$ valeurs propres réelles distinctes que l'on notera respectivement $a_1<\cdots<a_n$ et $b_1<\cdots<b_n$. On note également $C$ et $D$ les matrices diagonales ayant ces valeurs sur la diagonale. $A$ et $B$ sont donc toutes les deux diagonalisables et il existe deux matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $A=PCP^{-1}$ et $B=QDQ^{-1}$.

Le point clé est le suivant : quitte à changer l'une des colonnes de $P$ ou de $Q$ en son opposé, on peut supposer que le déterminant de $P$ et celui de $Q$ sont de même signe, et par conséquent $P$ et $Q$ sont toutes les deux dans la même composante connexe par arcs de $GL_n(\R)$.

On note alors $\varphi$ une application continue de $[0,1]$ dans $GL_n(\R)$ telle que $\varphi(0)=P$ et $\varphi(1)=Q$ et $\psi:t\mapsto (1-t)C+tD$ et on constate que l'application $u:t\in[0,1]\mapsto \varphi(t)\psi(t)\varphi(t)^{-1}$ est un chemin de $A$ vers $B$ qui reste dans l'ensemble des matrices ayant $n$ valeurs propres distinctes.

Bibix

Pas sûr que ce soit si simple. Le chemin $\psi$ passe forcément par une matrice avec deux coefficients diagonaux égaux.

bisam

Je ne pense pas puisque l'on a ordonné les valeurs propres pour que ce ne soit pas le cas.
Pour tout $k$ entre $1$ et $n-1$, $a_k<a_{k+1}$ et $b_k<b_{k+1}$ donc pour tout $t$ entre $0$ et $1$, $(1-t)a_k+tb_k<(1-t)a_{k+1}+tb_{k+1}$.

Bibix

Ah oui, au temps pour moi.

gillesR

Merci beaucoup à tous et notamment à bisam ! Quelle belle démo ! et effectivement pas si compliquée.

gillesR

Et ce qui est marrant, c'est que si on essaie d'adapter la même démo, mais sur C, ce qui cloche c'est qu'on ne peut pas ordonner les valeurs propres. On est alors amenés à trouver n chemins dans C qui ne se coupent pas et qui relient, pour tout k entre 1 et n, la valeur propre a_k à la valeur propre b_k.
On n'est plus embêtés avec le signe des déterminants comme dans R, mais on est embêtés par le fait qu'on ne peut pas ordonner les valeurs propres (enfin, on peut toujours, mais ça n'apporte pas grand chose).
Et justement arriver à prouver qu'on peut relier ces valeurs propres par des chemins qui ne se coupent pas ne me semble pas une mince affaire, en tout cas si on veut une joli démo rigoureuse, n'est-ce pas ?

gillesR

Contrairement à ce que je pensais au début, on se retrouve dans la situation où le démo est plus dure à établir dans C que dans R !

bisam

Il me semble que l'ordre lexicographique, à savoir \[z\preccurlyeq z' \Leftrightarrow \left(\Re(z) < \Re(z') \, \text{ou}\,  \left(\Re(z)=\Re(z') \,\text{et}\, \Im(z) \leq \Im(z')\right)\right),\] est compatible avec l'addition et la multiplication par des réels positifs.
Si c'est bien le cas, cela suffit à ordonner les valeurs propres et obtenir le résultat annoncé avec la même démonstration (sans se préoccuper du signe du déterminant bien entendu).

D'ailleurs, cela répond également à ta question sur les $2n$ points à relier par des segments qui ne se croisent pas.