Décimale

Bonjour à tous,
au collège, comment définiriez-vous une décimale (d'un nombre décimal) ?

Je vous remercie pour vos retours.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (September 2024)
    Pour mettre à plat les choses : 
    Le développement décimal : c’est la suite des chiffres (à partir du rang 1) dans l’écriture décimale (propre). 
    On peut convenir que $d_0$ est la partie entière (ce n’est donc pas toujours un chiffre) écrite en écriture décimale.
    Puis que pour un entier naturel $n$ non nul, $d_n$ est le chiffre qui correspond au rang $10^{-n}$ dans l’écriture décimale (propre). 
    Une décimale : c’est l’un de ces chiffres, placé derrière la virgule dans l’écriture décimale. 
    Écriture décimale : c’est la concaténation des symboles qui n’utilisent que des chiffres
     $d_0$$,$$d_1$$d_2$… 
     où l’on a des conventions (par exemple de ne pas concaténer des zéros inutiles)

    Au collège : c’est l’un des chiffres placé derrière la virgule dans l’écriture décimale du nombre. 
    Remarque : tout ceci est valable pour n’importe quel nombre, qu’il soit décimal ou pas.
    On parle parfois du « nombres de décimales exactes » pour une valeur approchée. 
  • Une décimale d’un nombre est un des nombres entre 0 et 9 qu’on trouve au numérateur de la décomposition en fractions décimales du nombre.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Merci Dom pour cette réponse.

    Voici ce que j'avais en tête :
    "Dans l’écriture décimale d’un nombre décimal non entier, une décimale est un chiffre placé à droite de la virgule."

    Pourquoi "nombre décimal non entier" ?
    Parce que, dans ce cas, il y a nécessairement des décimales non nulles.

    Si le nombre décimal est entier, la virgule n'apparaît pas.
    Mais je suis d'accord que, par exemple, 8 = 8,0 = 8,0000000000000 : il y a donc des décimales mais elles valent toutes 0.

  • Comme $8 = 7,99999999...$, on peut même mettre $9$ dans les décimales de $8$...
  • Dom
    Dom
    Modifié (September 2024)
    Je pense que la définition de « décimale » utilise l’écriture décimale propre. 
    Je pense qu’il n’est pas utile de distinguer entier/non entier même si la remarque est à faire « toutes les décimales d’un entier sont le chiffre zéro ». Avec la convention que l’on parle du développement décimal propre. 
  • Je ne peux pas parler de "développement décimal propre" au collège...
  • Tu agites les bras, tu montres avec le doigt, les élèves comprendront très bien.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Inutile d’évoquer l’écriture décimale propre ou impropre. 
  • Donc, finalement, qu'est-ce que l'on garderait ?
  • « L’un des chiffres dans l’écriture décimale »
    Cela dit, la notion de « décimale » au collège, les profs posent-ils des questions dessus ?
    Sur l’écriture décimale, oui. Sur les décimales, cela m’intrigue. 
  • "Une décimale est l’un des chiffres dans l’écriture décimale" ?
  • Pour ma part je ne m'en sers pas et ne le définis pas. Dans le cas contraire ta définition ne me poserait pas de problème.
    C'est pour définir la précision des arrondis?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Il me semble (j’ai un léger doute) que ce n’est pas l’un des chiffres de la partie entière. C’est pourquoi je parle de « derrière la virgule dans l’écriture décimale ».
  • Source : Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Stella Baruk, Seuil. 

  • lourrran
    Modifié (September 2024)
    Voici ce que j'avais en tête :
    "Dans l’écriture décimale d’un nombre décimal non entier, une décimale est un chiffre placé à droite de la virgule."
    Et on peut effectivement enlever la restriction sur les nombres entiers :
    "Dans l’écriture décimale d’un nombre décimal, une décimale est un chiffre placé à droite de la virgule."

    Oui.
    Mais la langue française est bien faite, elle est précise.
    J'ai mis en gras le L apostrophe au début.
    Le La, Les, L' : articles définis 
    par opposition à Un, Une, Des : articles indéfinis 

    Si on peut parle de L'écriture décimale d'un nombre décimal (avec L', article défini) , c'est parce qu'on sait ou qu'on considère qu'un nombre décimal a une seule écriture décimale.
    Le nombre 7.5 a une seule écriture décimale, c'est 7.5 ; 7.50 ou 7.4999... sont des écritures impropres ... des variantes. 7.5 et 7.50 représentent effectivement le même nombre, mais la représentation standard, l'écriture décimale (propre), c'est 7.5
    On n'est pas obligé de parler d'écriture décimale propre, mais on peut quand même expliquer que l'écriture standard, c'est 7.5 et pas 7.50.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Tu veux dire que l'écriture est unique quand on a précisé les conventions ?
    (En l'espèce, je suis sûr que 0 est une décimale de 1/101 mais pour 37/25, je n'ai pas compris ce qui ressort de la discussion...)
  • 37/25 = 1.48
    L'écriture décimale (canonique, propre, standard ... appelez la comme vous voulez) de ce nombre est 1.48
    Ce nombre a 2 décimales et pas plus.
    Et cette écriture est effectivement unique. La convention standard, naturelle, dans le cadre d'un cours de maths, c'est de ne pas ajouter plein de 0 inutiles.
    Dans certains cas, pour certains usages, on peut choisir d'utiliser une écriture décimale autre, impropre. Par exemple, tel article coûte 1,20€, telle personne mesure 1,80m. C'est une autre convention qui fait sens, mais ce n'est pas celle en vigueur dans un cours de maths.

    Et d'ailleurs, (je répète), quand Arturo écrit : Dans l’écriture décimale d’un nombre décimal (non entier), une décimale est un chiffre placé à droite de la virgule. , la réponse est dans la question.
    Instinctivement, on utilise le bon article. Article défini ou indéfini, on utilise celui qu'il faut, instinctivement.

    Article défini... comme par hasard, on retrouve le mot définition

    Arturo parle de l'écriture décimale d'un nombre. On sait donc à ce moment là qu'un nombre a une unique écriture décimale. Et les écritures 1.480 ou assimilées sont des écritures valides, certes, mais non standard.

    Quelle est la voyelle dans le mot "Avant" ...  cette question ne choque personne.
    Quelle est la voyelle dans le mot "Cheval" ...  cette question nous choque, elle est mal formulée, on voit bien qu'il y a un loup.
    Donnez une voyelle présente dans le mot "Cheval" , ok, cette question est correcte.
    On ne peut utiliser l'article défini LE LA LES que si il y a unicité de la réponse.

    Rome est LA capitale de l'Italie, Venise est UNE ville d'Italie, Rome est aussi UNE ville d'Italie.
    Mais si j'écris Rome est LA ville d'Italie ... c'est faux.
    L'article est aussi important que les mots qui suivent.



    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Math Coss
    Modifié (September 2024)
    Je ne suis pas chiche : plutôt qu'ajouter un ou deux zéros, j'en mettrais une infinité – de sorte à pouvoir écrire pour tout $x$ : \[x=\lfloor x\rfloor+\sum_{k\ge1}\frac{x_k}{10^k}.\] PS : autrement dit, je suis d'accord avec @Dom ci-dessous.
    PS : Comme @lourrran, je suis un peu rigide à propos des articles définis ou indéfinis. J'ai été un peu ébranlé de constater que la question était le plus souvent une question de langue française plutôt que de compréhension ou de mathématiques – par exemple, en russe, il n'y a pas du tout d'article et les enfants russes n'ont sans doute pas plus de problème que les français avec le développement décimal.
  • Dom
    Dom
    Modifié (September 2024)
    Pour moi le nombre  1,48 n’a pas que deux décimales. 
    Par contre il en a exactement deux qui ne sont pas zéro.
    Cependant l’écriture décimale 1,48 ne contient que trois chiffres, un seul avant la virgule et deux derrière.
    N’importe quel réel contient une infinité de décimales, contient une infinité d’écritures décimales (dont une seule est impropre s’il s’agit d’un nombre décimal). 
  • Dom a dit :
    N’importe quel réel [...] contient une infinité d’écritures décimales (dont une seule est impropre s’il s’agit d’un nombre décimal). 
    Pas sûr de comprendre de que tu veux dire. Pour 1/3 tu penses à quoi?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Le nombre un tiers a plusieurs écritures décimales mais ce sont toutes des écritures avec un nombre de symboles illimité. 
    Je n’écris donc que le début de ces écritures : 
    0,33333 
    0000,33333
    Ça donne plein d’écritures décimales. 
  • Au contraire des décimales, ça me semble une très mauvaise idée d'accepter les zéros à gauche : si on n'efface pas les zéros à gauche, on ne sait plus parler du nombre de chiffres d'un entier, qui est l'analogue pour les entiers ou les réels du degré d'un polynôme. Je pense, @Dom, que tu ne rejettes pas l'expression « nombre à trois chiffres ». La présence des décimales nulles ou non nulles après la virgule n'importe pas, ce qui est à gauche de la virgule est un entier.
  • Dom
    Dom
    Modifié (September 2024)
    Et bien c’est plus compliqué que cela. « Nombre à trois chiffres » m’agace mais comme c’est pratique il faut expliquer (de mon point de vue) que c’est un raccourci pratique.  D’ailleurs 2,57 est-il un nombre à trois chiffres ?
    Il faut simplifier les choses dans le langage, mais il faut lever des implicites également.
    Question sincère : quel est le chiffre des milliers de 38,5 ?
    Pour moi, c’est « 0 ». 
  • Soc
    Soc
    Modifié (September 2024)
    @Dom Dans l'usage, je dis à mes 6eme que le nombre 1/3 n'est pas décimal car il n'a pas d'écriture décimale (autrement dit, on ne peut pas utiliser l'écriture décimale pour l'écrire).
    Cela dit on ergote pour pas grand chose car d'un côté quelques années plus tard personne ne se souvient de ce qu'est un nombre décimal, et de l'autre si confusion il y avait sur les décimales d'un nombre, elle est levée en une phrase à l'oral.
    Ce qui m'intéresserait davantage à faire comprendre aux élèves est que les nombres décimaux ont un intérêt pratique car on compte avec 10 doigts, mais pas d'intérêt mathématique car si jamais on décidait de compter en base 3, ce serait 1/3 qui deviendrait simple et 1/2 casse-pieds. Malheureusement je crois que c'est hors de leur portée, si ce n'est de quelques rares et impressionnantes exceptions.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Dom
    Dom
    Modifié (September 2024)
    Ok. Je pense également qu’il ne sert à rien (quel que soit où l’on regarde) de s’attarder sur ce qu’est un nombre décimal. En parler, oui, il faut l’évoquer. 
    Je ne suis pas d’accord avec cette tournure de phrase : « le nombre 1/3 n'est pas décimal car il n'a pas d'écriture décimale ». 
    Et ce n’est pas la même chose que « on ne peut pas utiliser l'écriture décimale pour l'écrire » qui est pour moi bien meilleur que ce qui précède. Attention toutefois car « on ne peut pas » est très ambigu. Par exemple, personne ne peut écrire $2^{472^{907}}$ en écriture décimale malgré que ce soit un nombre décimal. 

    Alternative : un nombre est décimal lorsqu’il en existe une écriture décimale qui n’utilise qu’un nombre fini de chiffres. Ce n’est pas le cas pour 1/3.  
    [la définition « nombre décimal » = « il existe une écriture en fraction décimale » est plus commune et plus pertinente mais il faut avouer que c’est peu parlant pour un 6e]
  • Ici, on parle des décimales, les chiffres après la virgule. La spécificité de 10 est plus flagrante dans les 'multiplications par 10', et là, il y a des éléments intéressants, accessibles.

    Historiquement, les systèmes de mesure (mètre/kilomètre, gramme/kilogramme) sont très récents, ça a 200 ans environ, et c'est à mon sens un événement historique assez spectaculaire : comment plus de la moitié des pays du monde ont adopté une même convention (le système métrique), alors que les moyens de communication actuels n'existaient pas ! 
    Idem, le fait que dans tous les pays du monde, on compte en base 10, c'est pas mal, c'est vachement pratique ! 
    Par quel miracle tout le monde s'est il aligné sur une même convention ? 
    Le miracle en question, je crois qu'il s'appelle le commerce... comment commercer quand on n'a pas les mêmes unités, les mêmes conventions d'écriture ?

    On parle de vivre ensemble, et mine de rien, c'est un sacré message d'espoir, même si, ne soyons pas dupe, cette harmonisation s'est forcément faite dans la douleur.

    On a aussi énormément compté en base 12 (le pouce qui compte sur les 12 phalanges). Ici une vidéo où on parle de 'la pelle à grosse'  (à 6minutes) et une grosse, c'est 12 douzaines. Il me semble qu'il y a un album d'Astérix où on parle aussi de cette 'grosse'.
    Plein de trucs se vendent encore par 12 (les assiettes, les huitres, les oeufs, etc etc)

    La base 10 est devenue à peu près universelle, mais c'est récent.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
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