Question sur une notation en probabilité

NicolasH

Bonjour,

Je viens de commencer le chapitre sur l'introduction aux probabilités, et dans mon cours, nous avons défini la mesure de probabilité comme une fonction $P$ qui prend un événement d'une $\sigma$ -algèbre et lui associe une valeur comprise entre $0$ et $1$ et vérifiant certains axiomes. On note la probabilité ici $P(A)$ où $A$ est un événement.

Dans la notation courante $P(X=k)$ où $X$ est une variable aléatoire, est-ce que la notation X=k est un ensemble ? J'ai la conjecture suivante,  $X=k := \{ \omega \in \Omega | X(\omega)=k\}$ où $\Omega$ est l'espace fondamental. Ma conjecture est-elle bonne ?

JLapin

Oui. Classiquement, on note plutôt $\{X=k\}$ à la place de $X=k$, sauf dans l'expression $P(X=k)$...

NicolasH

JLapin a dit :

Oui. Classiquement, on note plutôt $\{X=k\}$ à la place de $X=k$, sauf dans l'expression $P(X=k)$...

Merci !, c'est une notation que me semblait totalement bizarre quand j'étais élève dans le secondaire, la théorie de la mesure permet de bien formaliser c'est conneries ahah

Héhéhé

De manière générale, pour tout sous-ensemble $E$ de l'ensemble d'arrivée de $X$,
\[ P(X \in E) = P(X^{-1}(E)) = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in E\})\]
où $X^{-1}(E)$ est donc l'image réciproque de $E$ par $X$.

Dans le cas où $E$ est un singleton $\{x\}$, on note
\[ P(X = x) = P(X \in \{x\}) = P(X^{-1}(\{x\})) = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in \{x\}\}) = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) =x\})\]
On travaille donc avec l'évènement $(X=x) = X^{-1}(\{x\})$.

On peut aussi définir des trucs comme $P(X \leq x)$, $P(a \leq X \leq b)$ etc.

Thierry Poma

Nous avons\[X^{-1}(k)=\{X=k\}\text{, d'où }\Bbb{P}(X^{-1}(k))=\Bbb{P}(\{X=k\})\]Je n'aime pas la notation $\Bbb{P}(X=k)$.

JLapin

Moi j'aime bien cette notation (je la trouve assez agréable car légère) mais par contre, je n'aime pas la notation

Thierry Poma a dit :

\[X^{-1}(k)\]

que je trouve trop piégeuse en particulier pour des débutants. Quite à alléger, je préfère encore $X^{-1}\{k\}$.

Question de goût bien entendu.

Thierry Poma

@JLapin : L'on a\[X^{-1}(\{k\})=X^{-1}(k)\]qui est la fibre de $X$ au dessus de $k$.

JLapin

Oui, j'avais compris le sens de ta notation.

Héhéhé

Le truc c'est que la notation $X^{-1}$ n'est vraiment pas pratique pour faire des calculs. On a quand même envie d'écrire des trucs du genre
$$ P(3X^2 = 1) = P\left( X^2 = \frac{1}{3} \right) = P\left( X = \frac{1}{\sqrt 3}\ \mathrm{ou}\ X = - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$

Thierry Poma

@Héhéhé : tout à fait de ton avis, pour des raisons économiques, pratiques. Cependant, pour @NicolasH, il peut être utile de préciser les choses. Je reprends ton exemple. Supposons que $X$ soit une fonction mesurable à valeurs dans $\R$. Considérons l'application $\kappa:\R\to\R,\,x\mapsto{}x^2$, qui est mesurable puisque continue sur $\R$. Partant, comme $X^2=\kappa\circ{}X$, il vient que\[(X^2)^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)=(\kappa\circ{}X)^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)=X^{-1}\left(\kappa^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\right)=X^{-1}\left(\left\{-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right\}\right)=X^{-1}\left\{-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right\}\cup{}X^{-1}\left\{\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right\}\]avec nécessairement\[X^{-1}\left\{-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right\}\cap{}X^{-1}\left\{\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right\}=\emptyset\]J'ai utilisé la notation de @JLapin.

Georges Abitbol

@Thierry Poma : Non, non, $X^{-1}(\{k\}) \neq X^{-1}(k)$ en général. Tout étant un ensemble, pour tout $x$ et tout $f$, $x^{-1}(f)=\{G \ \vert \ (G,f)\in x\}$ (j’ai choisi des noms fantaisistes exprès.

Par ailleurs, il y a « pire » : si $g$ est une fonction définie sur l’ensemble des réels, en probas on note $g(X)$ à la place de… $g\circ X$.