Loi binomiale maximale

OShine

Bonjour, 
Je bloque sur le corrigé, le troisième point.
Je ne comprends rien. Pourquoi ils prennent la parité entière et ça change quoi que $(n+1)p$ soit un entier ou pas ?
Cet exercice était tombé à Mines Ponts à l'écrit et le rapport du jury a dit que c'était une question difficile.

gebrane

Tu plaisantes ou quoi, veux-tu égaliser un entier avec un réel ?

OShine

Je ne comprends pas pourquoi le maximum est atteint pour $\lfloor (n+1)p \rfloor$.
Et que si $(n+1)p$ est entier il est atteint pour $k_0$ et $k_0 -1$.
Je suis bloqué depuis hier sur ça.

gebrane

Tu peux ajouter un jour de réflexion 
Si tu connais bien ton cours, la valeur qui maximise est le mode 

OShine

Non ce n'est pas du cours.
Dans le cours il n'y a que la définition de la loi binomiale.
C'est de la réflexion mais je ne suis pas assez fort pour comprendre ce passage.

OShine

J'ai essayé de faire un dessin mais même le dessin ne m'aide pas du tout à comprendre le corrigé.

LoanSupOp

C'est une étude de suite explicite niveau terminale quand même

gebrane

Je n' ai pas lu ton  corrigé mais voici un résumé sur le mode d une loi binomiale

$$\mathrm{mode} = \begin{cases}0, & \text{si } p = 0; \\n, & \text{si } p = 1; \\np + p - 1 \text{ et } np + p, & \text{si } np + p - 1 \in \mathbb{Z} \text{ et } 0 < p < 1; \\\lfloor np + p \rfloor, & np + p -1 \notin \mathbb{Z}. \end{cases}$$

OShine

gebrane a dit :

Je n' ai pas lu ton  corrigé mais voici un résumé sur le mode d une loi binomiale

$$\mathrm{mode} = \begin{cases}0, & \text{si } p = 0; \\n, & \text{si } p = 1; \\np + p - 1 \text{ et } np + p, & \text{si } np + p - 1 \in \mathbb{Z} \text{ et } 0 < p < 1; \\\lfloor np + p \rfloor, & np + p -1 \notin \mathbb{Z}. \end{cases}$$

Lis-le tu compliques inutilement.

OShine

J'ai mis de côté ma partie entière.
J'ai essayé de démontrer l'autre point et même le second point j'ai une question à laquelle je ne sais pas répondre.

OShine

@LoanSupOp
Es-tu sérieux ? 
Même le rapport de Mines Ponts dit que l'exercice est difficile et tu parles de terminales...

OShine

Le maximum pourrait être atteint pendant la décroissance en $\lfloor (n+1)p \rfloor +1$ par exemple.
Pas compris cette preuve qui me semble incomplète.

gebrane

Pourquoi me demandes-tu alors de lire une preuve incomplète ?
Je n'en ai pas besoin, et si tu bloques, débloque-toi pour une fois sans attendre que quelqu'un le fasse pour toi.
Le résumé que je t'ai fourni est précieux, mais bon ! 

JLapin

OShine a dit :

Le maximum pourrait être atteint pendant la décroissance en $\lfloor (n+1)p \rfloor +1$ par exemple.
Pas compris cette preuve qui me semble incomplète.

La dernière phrase n’est pas démontrée : c’est juste une remarque complémentaire. C’est au lecteur de prendre un papier et un stylo et d’en rédiger la preuve s’il ne parvient pas à le faire de tête ou à le faire faire par quelqu’un d’autre sur ce fil de discussion.

OShine

@gebrane
Je ne comprends pas ton histoire de mode.
Ici il s'agit d'étudier une suite. Pourquoi tu sors des notions hors-programme ?

@JLapin
Justement je ne sais pas faire, j'ai juste réussi à montrer un petit passage.
Pour le reste je ne vois pas comment faire.

Thierry Poma

Il a été établi que\[{u_k}\geqslant{}u_{k-1}\Leftrightarrow1\leqslant{}k\leqslant{}(n+1)p\]Soit $[1,\,n]$ une partie de $\R$ ; l'on sait que $k\in[1,\,n]\cap\N$. Or, le cas étudié est tel que $(n+1)p\in[1,\,n]$, $(n+1)p$ n'étant pas nécessairement un entier. Par ailleurs,\[\lfloor (n+1)p \rfloor\leqslant{}(n+1)p<\lfloor (n+1)p \rfloor+1\]de sorte qu'il est possible d'avoir $k=\lfloor (n+1)p \rfloor$, vu que $\lfloor (n+1)p \rfloor\in\N$.

OShine

@Thierry Poma
Je n'ai pas l'impression que tu répondes à la question.
Tu n'expliques pas pourquoi c'est le maximum.

Thierry Poma

Moi je pense que tu as de grosses lacunes qui t'empêchent de voir ce qui saute aux yeux.

gebrane

Faut-il couper le cordon ombilical  pour l'inciter à réfléchir ,

JLapin

Je pense que la rédaction complète et ultra détaillée qui est ardemment souhaitée est suffisamment pénible pour que personne ne prenne la peine de la faire gratuitement

Thierry Poma

Nous avons\[1\leqslant\lfloor (n+1)p \rfloor\leqslant{}(n+1)p<\lfloor (n+1)p \rfloor+1\leqslant{}n\]avec $k\in[1,\,n]\cap\N$. Que se passe-t-il lorsque $(n+1)p\in\N$ ? Que se passe-t-il lorsque $(n+1)p\not\in\N$ ?

Julia Paule

Dans le corrigé, ils devraient parler de suite strictement croissante ou strictement décroissante. En effet, on ne peut pas conclure avec un maximum atteint une seule fois (ou deux) si on ne considère que des suites croissantes ou décroissantes.

- si $(n+1)p$ n'est pas entier :

$u_k > u_{k-1} \Leftrightarrow k < (n+1)p \Leftrightarrow k \leq  \lfloor (n+1)p \rfloor=k_0$

$u_k < u_{k-1} \Leftrightarrow k  > (n+1)p \Leftrightarrow k \geq  \lfloor (n+1)p \rfloor +1=k_0+1 \Leftrightarrow k-1 \geq k_0$.

D'où la croissance stricte jusqu'à $k_0$ et la décroissance stricte à partir de $k_0$, donc le maximum est atteint en $k_0$.

- si $(n+1)p$ est un entier $k_0$ :

$u_k > u_{k-1} \Leftrightarrow k \leq k_0-1$

$u_k < u_{k-1} \Leftrightarrow k  \geq k_0+1 \Leftrightarrow k-1 \geq k_0$

$u_k = u_{k-1} \Leftrightarrow k =k_0$

D'où la croissance stricte jusqu'à $k_0-1$ et la décroissance stricte à partir de $k_0$ avec le maximum atteint deux fois, en $k_0$ et $k_0-1$.

Thierry Poma

Au cas où tu aurais encore des doutes, je te rappelle que\[]\lfloor (n+1)p \rfloor,\,\lfloor (n+1)p \rfloor+1[\cap\N=\emptyset\]

OShine

@Julia Paule
Super j'aime bien ton explication. Oui le corrigé n'est pas très clair.

OShine

Thierry Poma a dit :

Au cas où tu aurais encore des doutes, je te rappelle que\[]\lfloor (n+1)p \rfloor,\,\lfloor (n+1)p \rfloor+1[\cap\N=\emptyset\]

C'est assez évident.

OShine

Je crois que c'est bon.
Très original cet exercice, et encore d'un niveau qui dépasse mes capacités.