Loi binomiale

OShine

Bonsoir,
Je bloque sur la remarque n°2.

verdurin

Tu peux regarder ce qui se passe si $p=0$ ou $p=1$.

En dehors de ces deux cas $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ est strictement positif pour $k\in[\![ 0 ; n]\!]$

verdurin

Au passage cette définition d'une loi binomiale est particulièrement inintéressante.

JLapin

verdurin a dit :

Au passage cette définition d'une loi binomiale est particulièrement inintéressante.

Tu préfères quelle définition du coup ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale#Définition_mathématique

Si on lit un peu en dessous, on voit que manifestement, les interprétations usuelles sont présentées plus tard, au moment de l'introduction de la notion d'indépendance...

Héhéhé

verdurin a dit :

Au passage cette définition d'une loi binomiale est particulièrement inintéressante.

C'est pourtant la définition quasi-universelle ?!

OShine

verdurin a dit :

Tu peux regarder ce qui se passe si $p=0$ ou $p=1$.

En dehors de ces deux cas $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ est strictement positif pour $k\in[\![ 0 ; n]\!]$

Je ne comprends pas le lien avec ce qu'il faut démontrer.
Je suis toujours bloqué sur la remarque.
On part de soit $p \in ]0,1[$.
Après je ne comprends pas comment faire.

zeitnot

Si $p=0$ alors $P(X=0)=...$.

Si $p=1$ alors $P(X=n)=...$

OShine

Ça vaut $1$ mais je ne vois pas le rapport avec ce qu'on veut montrer.
On doit partir de $p \in ]0,1[$.
Toujours rien compris à cette remarque 2.

Héhéhé

Si $p \neq 0$ et $p \neq 1$ alors $P(X=k)$ n'est jamais nul pour tout $k \in \{0,\ldots,n\}$. C'est tout. 

Julia Paule

Par définition, $X$ prend ses valeurs dans $[0,n]$, et $p \in [0,1]$.
Par contraposée : si $X$ ne prend pas une valeur $k, 0\leq k\leq n$, alors $P(X=k)=0$, donc $p=0$ ou $p=1$ (en utilisant la formule).

OShine

Julia Paule a dit :

Par définition, $X$ prend ses valeurs dans $[0,n]$, et $p \in [0,1]$.
Par contraposée : si $X$ ne prend pas une valeur $k, 0\leq k\leq n$, alors $P(X=k)=0$, donc $p=0$ ou $p=1$ (en utilisant la formule).

Pas compris le $p=0$ ou $p=1$.

OShine

Héhéhé a dit :

Si $p \neq 0$ et $p \neq 1$ alors $P(X=k)$ n'est jamais nul pour tout $k \in \{0,\ldots,n\}$. C'est tout. 

Pas compris pourquoi.

Julia Paule

OShine a dit :

Julia Paule a dit :

Par définition, $X$ prend ses valeurs dans $[0,n]$, et $p \in [0,1]$.
Par contraposée : si $X$ ne prend pas une valeur $k, 0\leq k\leq n$, alors $P(X=k)=0$, donc $p=0$ ou $p=1$ (en utilisant la formule).

Pas compris le $p=0$ ou $p=1$.

Ouh là. $\forall k \in [0,n], \binom {n} { k} >0$, or $0=P(X=k)=\binom {n} { k} p^k(1-p)^{n-k} \Rightarrow p^k(1-p)^{n-k}=0$, car $ab=0 \Rightarrow a=0$ ou $b=0$ (dans le corps des réels, tu dois connaitre ça), je te laisse continuer.

Héhéhé

OShine a dit :

Héhéhé a dit :

Si $p \neq 0$ et $p \neq 1$ alors $P(X=k)$ n'est jamais nul pour tout $k \in \{0,\ldots,n\}$. C'est tout. 

Pas compris pourquoi.

Tu ne sais pas qu'une somme de termes strictement positif est strictement positive ? Sérieusement ?

OShine

Ah d'accord merci.
Ma lacune c'est que je ne savais pas que si $k \notin X(\Omega)$, alors $P(X=k)=0$.

OShine

@Héhéhé
Si ma lacune était ailleurs, je viens de l'expliquer.

john_john

Si $k\not\in X(\Omega)$, alors $P(X=k)$ n'est ni nul, ni non nul, mais plutôt non défini.

OShine

Hein ? 
Dans mon livre il est écrit que la probabilité est nulle dans ce cas.
Et ici @Julia Paule utilise cet argument.

OShine

Tu m'embrouilles @john_john

Julia Paule

@john_john
En MPSI, si $k \notin X(\Omega)$, alors $\{ X=k \}=\emptyset$, donc $P(X=k)=0$.

john_john

Julia : je veux bien, mais alors il vaudrait mieux préciser l'ensemble $E$ plus vaste que $X(\Omega)$ et dans lequel on accepte d'évaluer $P(X=k)$.

Héhéhé

john_john a dit :

Si $k\not\in X(\Omega)$, alors $P(X=k)$ n'est ni nul, ni non nul, mais plutôt non défini.

Pas du tout. Par définition, pour tout nombre réel $x$,
$$P(X = x) = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\})$$
C'est défini que $x$ soit dans l'image de $X$ ou non. 

Si $x \notin X(\Omega)$, alors $\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\}=\varnothing$ donc $P(X=x) = 0$.

john_john

Je n'ai lu nulle part que $X$ est à valeurs réelles ; bon, j'arrête parce que l'on pinaille.

Héhéhé

En général en CPGE ou L1/L2 on considère des variables aléatoires réelles donc des fonctions $\Omega \to \mathbb R$.

Mais peu importe, j'ai mis $x$ réel, mais on peut mettre n'importe quoi. En théorie des ensemble on peut toujours considérer l'image réciproque $X^{-1}(\{x\}) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\}$ même si $x$ n'est pas dans l'ensemble d'arrivée de $X$.

C'est quand même super pratique d'avoir $P(X=x) = 0$ si $x \notin X(\Omega)$ en probabilités... Je ne vois pas l'intérêt de s'en priver.

JLapin

OShine a dit :
Ma lacune c'est que je ne savais pas que si $k \notin X(\Omega)$, alors $P(X=k)=0$.

Sauf qu'ici, ça ne sert à rien. Tu dois justifier que $k\notin X(\Omega)$ et pour cela, tu ne peux utiliser une conséquence de cette propriété que tu dois démontrer...

Julia Paule

Par contre l'inverse est faux : $P(A)=0 $ n'induit pas $A= \emptyset$ (par exemple pour les lois à densité).

john_john

C'est super-pratique d'avoir $P(X=x)=0$, etc. : bien sûr, ne serait-ce que lorsque l'on veut additionner deux v.a., ou former un couple de v.a. (tiens, tiens, les v.a. ne sont pas toutes réelles). Mais, de là à le faire lorsque cela n'est pas nécessaire ! De plus, ajouter inutilement des événements impossibles ne fera que croître et multiplier la confusion entre impossible et négligeable.

gebrane

john_john a dit :

Je n'ai lu nulle part que $X$ est à valeurs réelles ; bon, j'arrête parce que l'on pinaille.

Il est bien dit dans la définition13 (premier message de Oshine) que X prend ses valeurs dans le segment $\N\cap [0,n]$

OShine

@JLapin
Je ne comprends pas ta remarque.
@Julia Paule utilise bien que si $k \notin X(\Omega)$ alors $P(X=k)=0$ c'est un raisonnement par contraposée.

JLapin

Oui, tu as raison !

john_john

Il est bien dit dans la définition 13 (premier message de Oshine) que $X$...

On dira ce que l'on voudra, mais cette extension ne me semble pas rigoureuse : si l'on tient à tout prix à étendre la définition de $P(X=k)$, alors il vaudrait mieux commencer par étendre $X(\Omega)$. J'admettrais plus volontiers que, dans le cas de la v.a. binomiale, on prenne $X(\Omega)=\N$ (non pas $\Z,\Q,\R,\C$ puisqu'il s'agit d'un nombre de succès).

Héhéhé

Encore une fois, absolument pas besoin d'avoir $x \in X(\Omega)$ pour parler de l'évènement $(X=x)$... 

C'est 100% rigoureux.

Voir ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2338873/question-sur-une-notation-en-probabilite

zeitnot

$(X=x)$ a "le droit" d'être l'ensemble vide.

john_john

Héhéhé, tu as écrit toi-même : De manière générale, pour tout sous-ensemble $E$ de l'ensemble d'arrivée de $X$,

J'infère de ton dernier message qu'un sous-ensemble n'est pas nécessairement inclus dans l'ensemble.

Héhéhé

Tu confonds l'image d'une fonction avec son ensemble d'arrivée. 

Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans un ensemble $E$ est en particulier une fonction $X:\Omega \to E$ (par exemple $E = \mathbb R$ pour les variables aléatoires réelles). Son ensemble d'arrivée est donc $E$. Son image $X(\Omega)$ est l'ensemble des nombres réels qui sont atteint par $X$:
\[ X(\omega) = \{X(\omega): \omega \in \Omega \}.\]
En général $X(\Omega) \neq E$. Si $x \in E \setminus X(\Omega)$, c'est-à-dire si $x$ est dans l'ensemble d'arrivée de $X$ mais pas dans son image, on a
\[ (X = x) = X^{-1}(\{x\}) = \{ \omega \in \Omega : X(\omega) = x  \} = \varnothing.\]

Lirone93

Et ca n'a aucune importance.

john_john

Non, je ne confonds pas ! La définition 13 d'Oshine dit que $X$ est à valeurs dans $\{0,...,n\}$ et non pas dans $\R$. Si tu veux définir $P(X=-\sqrt2)$, tu dois dire que $\sqrt2\in X(\Omega)$. Cela dit, nous faisons subir aux diptères les derniers outrages, dirait Lirone.

Voici la lettre du programme de MPSI : 


... et non pas $x\in$ n'importe quoi.

Héhéhé

john_john a dit :

La définition 13 d'Oshine dit que $X$ est à valeurs dans $\{0,...,n\}$ et non pas dans $\R$.

Ce qui ne veut absolument pas dire que $X(\Omega) = \{0,...,n\}$.

john_john a dit :

Si tu veux définir $P(X=-\sqrt2)$, tu dois dire que $\sqrt2\in X(\Omega)$.

Non. Par définition $P(X=x) := P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x \}$ ce qi ne demande absolument pas que $x \in X(\Omega)$ (et ni que $x \in E$ d'ailleurs). Je peux t'indiquer des références d'ouvrage si tu ne me crois pas.

john_john a dit :

Voici la lettre du programme de MPSI : 


... et non pas $x\in$ n'importe quoi.

Le programme de MPSI ne déclare pas que $E = X(\Omega)$ non plus !!!

john_john

Bonjour,
je cesse d'intervenir dans ce dialogue de sourds (pardon : de malentendants) ; je n'ai jamais dit que $E=X(\omega)$ mais je viens de montrer un fragment du programme de MPSI où il est écrit (j'ai vérifié mes lunettes) que, si $X$ est à valeurs dans $E$, on définit $P(X=x)$ pour $x\in E$. OShine partage une définition de la loi binomiale où il est écrit qu'elle est à valeurs dans $\N\cap[0,n]$ (n'est-ce pas dire que $E=\N\cap[0,n]$ ?) et qui prend la peine de montrer que, si $p\in\{0,1\}$, il y a des événements négligeables.
Cela dit, cela ne me dérange pas de considérer ${\cal B}(n,p)$ comme une v.a. réelle, ou complexe, ou quaternionique, mais il faut que cette convention soit explicite !

Deux choses exaspéraient mes collègues probabilistes
-item, que l'on dise que les probas ne sont que de la théorie de la mesure avec $\mu(\Omega)=1$,
-item, que l'on dise qu'en probas peut se permettre d'être moins rigoureux.

Julia Paule

@john_john Dire qu'une application est à valeurs dans un ensemble $E$ ne veut pas dire qu'elle est surjective, au cas où tu aurais un doute.

Héhéhé

Le programme de MPSI ne dit absolument pas qu'on ne peut pas considérer $(X=x)$ si $x \notin E$. Il dit que la probabilités $P_x$ est donnée par les $P(X=x)$ pour $x \in E$... Mais on peut considérer $P(X=x)$ pour $x \notin X(\Omega)$ ou même $x \notin E$, c'est simplement une image réciproque (théorie des ensembles de base) !!! Tu lis ce que tu veux lire et non ce qu'il y a écrit.

Mais bon si tu as envie de nager à contre-courant de la théorie des ensembles et des probabilités pratiqués par 99,99% des gens, libre à toi, j'arrête là.

De manière extrêmement général, si $f : E \to F$ est une application et $A$ un ensemble quelconque (pas nécessairement un sous-ensemble de $F$) alors l'image réciproque de $A$ par $f$, notée $f^{-1}(A)$, est définie par
$$f^{-1}(A) = \{x \in E : f(x) \in A\}$$
Bien sûr, si $A \cap F$ est vide alors $f^{-1}(A)$ est vide aussi.

La notation $(X=x)$ n'étant qu'un raccourci pour dire $X^{-1}(\{x\})$, cela a du sens pour n'importe quel $x$ (même si ce n'est pas un nombre réel).

Lirone93

Ok et aurais-tu un exemple concret, sans aller chercher dans la littérature si possible, où cette précision (rigueur sans défaut), aurait un intérêt clair dans le cas d'une variable aléatoire ?