Je ne comprends pas trop comment ces $5$ propositions du théorème 30 sont-elles équivalentes !
La deuxième proposition dit que $z$ est un complexe imaginaire pur, donc il existe $y\in \mathbb{R}^{*}$ tel que $z=iy$. Comme $z\neq 0$, on a $z=-\overline{z}$ et non $z=\overline{z}$ (comme le dit le théorème).
Pour l'argument de $z$, on a $arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\mod \pi$ ou $M=O$. Je me demande pourquoi on dit que $M=O$.
$\bullet$ C'est quoi « ce point » $O$ ?
$\bullet$ C'est l'origine ou c'est un point quelconque sur l’axe des ordonnées ?
$\bullet$ Pourquoi posé $M=O$ alors que $M$ représente déjà l'image du complexe $z=iy$ avec $y\in \mathbb{R}^{*}$ ?
$\bullet$ Quel est l'intérêt de faire ça ?
Et pour la correction de l'exercice $5$, il y a une erreur de signe sur la première ligne quant on factorise par $i$, et la deuxième ligne est mal développée à mon avis.
Voilà ce que j’ai trouvé.
1. Exprimons l’écriture algébrique de Z en fonction de $x$ et de $y$.
Puisque $z\neq i$, on a
\begin{align*}
Z=\dfrac{z-(1+i)}{z-i}&=\frac{x-1+i(y-1)}{x+i(y-1)} \\
& = \dfrac{(x-1+i(y-1))(x-i(y-1))}{x^2+(y-1)^2} \\
& = \dfrac{x(x-1)+ix(y-1)-i(x-1)(y-1)+(y-1)^2}{x^2+(y-1)^2} \\
& = \dfrac{x(x-1)+(y-1)^2+i(y-1)(x-x+1)}{x^2+(y-1)^2} \\
& = \dfrac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+(y-1)^2 +i(y-1)}{x^2+(y-1)^2}.
\end{align*}
Donc $\boxed{Z=\dfrac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2-\frac{1}{4}}{x^2+(y-1)^2} +i\dfrac{y-1}{x^2+(y-1)^2}}.$
2. Determinons l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ pour lequel $Z$ est réel.
$Z$ est réel si, et seulement si $\Im(Z)=0$ c'est-à-dire $\dfrac{y-1}{x^2+(y-1)^2}$. Comme pour tout $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, on a $x^2+(y-1)^2>0$. Alors $y-1=0$ donc $y=1.$
D'où l'ensemble des points cherchés est une droite horizontale.
