Union d'événements incompatibles

OShine

Bonjour,
Dans l'exercice 29.15, je n'arrive pas à faire la méthode de la remarque.
Mon calcul de $P(A_i)$ doit être faux.
Je trouve $P(A_i)=\dfrac{ N^k (k-1)^{n-i}}{N^n}$.

bd2017

On ne sait même pas ce qu'est $A_i.$  Comment peut-on répondre?

De plus je réalise que la solution est donnée!!

OShine

$A_i$ est donné dans la remarque du corrigé.
Le corrigé donne une seconde méthode sans la détailler.
Je bloque sur le calcul de $P(A_i)$.

lourrran

Explique comment tu arrives à cette formule. 
Soit tu arrives à expliquer, et tu as le sentiment que tu ne nous baratines pas trop, et c'est bon signe, la formule est bonne.
Soit tu es obligé d'inventer n'importe quoi pour justifier ce résultat.. et c'est mauvais signe.

Et ici, on est dans le cas 2.
Clairement, tu as tapé un truc au hasard ... 

Comme d'habitude, tu essaies de faire un truc qui est 100 fois trop compliqué pour toi.   Tu essaies de sauter une barre à 2m de haut, alors que tu n'es pas capable de passer 1m10.

Et comme d'habitude, quand un calcul est compliqué, on le décompose en calculs plus simples, avec des questions intermédiaires.

Héhéhé

On utilise simplement $\max(a,b) \leq c \iff a \leq c \ \text{et}\ b \leq c$.

bd2017

La solution est donnée sans passer par la remarque. Quant aux $A_i$  évoqués dans la remarque on peut s'en passer.

gebrane

Sauf erreur, ( fait rapidement)

$$P(A_i)= \binom{n}{i} \left(\frac{1}{N}\right)^i \left(\frac{k-1}{N}\right)^{n-i}$$ et on a bien $P(X = k) = \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} \left(\frac{1}{N}\right)^i \left(\frac{k-1}{N}\right)^{n-i}=\frac{1}{N^n} \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} (k-1)^{n-i}=\frac{k^n - (k-1)^n}{N^n}.$

Si tu ne comprends rien, un jour tu as dit Je suis libre d'appliquer la méthode qui me semble la plus facile.

OShine

@gebrane
Parfait ! Tu es aussi fort en probabilités.

bd2017

Bravo @Gebrane. Tu sais dénombrer. Tu as dû faire Polytechnique?  

OShine

lourrran a dit :

Explique comment tu arrives à cette formule. 
Soit tu arrives à expliquer, et tu as le sentiment que tu ne nous baratines pas trop, et c'est bon signe, la formule est bonne.
Soit tu es obligé d'inventer n'importe quoi pour justifier ce résultat.. et c'est mauvais signe.

Et ici, on est dans le cas 2.
Clairement, tu as tapé un truc au hasard ... 

Comme d'habitude, tu essaies de faire un truc qui est 100 fois trop compliqué pour toi.   Tu essaies de sauter une barre à 2m de haut, alors que tu n'es pas capable de passer 1m10.

Et comme d'habitude, quand un calcul est compliqué, on le décompose en calculs plus simples, avec des questions intermédiaires.

Cet exercice n'est pas compliqué.
Il est de niveau intermédiaire ni facile ni difficile.
J'ai toujours des difficultés avec les tirages avec remise.
Je ne pense pas assez aux listes pour modéliser les situations.

OShine

bd2017 a dit :

Bravo @Gebrane. Tu sais dénombrer. Tu as dû faire Polytechnique?  

C'est un exo standard.
Il n'y a pas besoin de génie mais il faut avoir les bases de dénombrement et que suis trop faible encore dans ce domaine.

bd2017

m

Héhéhé

Calculer la loi du max ou du min de plusieurs variables aléatoires est un truc ultra classique de L1/L2. C'est très loin du "niveau polytechnique"...

gebrane

bd2017 Je suis nul en proba de collège ;  les interprétations d'énoncés $\to $  un casse tête 

gebrane

OShine a dit :

Je bloque sur le calcul de $P(A_i)$.

OShine a dit :

Cet exercice n'est pas compliqué.

Qui a compris Oshine?

OShine

Héhéhé a dit :

Calculer la loi du max ou du min de plusieurs variables aléatoires est un truc ultra classique de L1/L2. C'est très loin du "niveau polytechnique"...

Oui c'est du style oral de CCINP ou Mines Télécom.

OShine

@gebrane
Tu multiplies les probas car c'est indépendant ?
Normalement on détermine le cardinal de l'univers et le cardinal de l'ensemble des issues favorables et à la fin on divise.

bd2017

OShine a dit :

@gebrane
Tu multiplies les probas car c'est indépendant ?

Pour cela voici pour que cela soit clair: . Je lance une pièce en l'air et je considère les deux évènements qui suivent: 

$A$  "la pièce retombe par terre" 

$B$  " la pièce reste en l'air" 

Si $A$ est réalisé alors $B$ ne l'est pas.  Si $B$ est réalisé alors $A$ ne l'est pas. Donc  $A$  et $B$ sont dépendants. 

Ceci étant dit $P(A)=1$ et $P(B)=0.$  De même $P(A \cap  B )=0=1\times 0= P(A) \times P(B)$ 

Je multiplie les probas donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Julia Paule

Oui les événements sont indépendants : l'événement "les $n-i$ autres numéros sont $\leq k-1$" est indépendant de l'évènement "on a tiré $i$ fois le numéro $k$", et les évènements "le numéro d'un tirage donné est $k$ (ou $\leq k$)" sont mutuellement indépendants.

En bref, ce n'est pas dit dans l'énoncé, mais on considère qu'a priori, les tirages avec remise sont indépendants.

bd2017, l'évènement impossible est indépendant de tous les autres évènements de la même expérience aléatoire.

OShine

@Julia Paule
Ah d'accord.

@bd2017
Étrange ton exemple.

lourrran

Au début, tu avais écrit une formule au hasard. Pourquoi pas, c'est une stratégie comme une autre. De toutes façons, je crois que tu n'as pas d'autre stratégie.
Dans les exercices de probabilités, si tu donnes une réponse au hasard, tu as une technique pour valider (ou plutôt invalider) ta réponse.
Tu fixes une valeur de $N$ (pas trop grande, mais pas trop petite non plus) ; sur cet exercice, tu fixes aussi une valeur de $n$.
Puis tu prends toutes les valeurs possibles pour $k$et pour $i$, et tu appliques ta formule. 
Puis tu calcules la somme.
Si la somme donne un total différent de 1, ta réponse est fausse. tu la remets dans ta poche, et tu dis 'Je bloque'. 
Si la somme donne 1, ça ne prouve rien, mais c'est encourageant.

OShine

Ma technique c'est calculer le cardinal de l'univers puis le cardinal des issues favorables à l'événement et ensuite de faire la division.

lourrran

Oui... 
Mais si tu as un peu de temps devant toi, si tu as la possibilité, tu calcules aussi le cardinal des issues défavorables , et tu vérifies si  Card (favorables)+Card(défavorables)=Card(Univers).
Si ça ne colle pas, c'est qu'il y un loup.
Si le Calcul de vérification est trop compliqué (ça arrive), tant pis, pas de vérification.

gebrane

Quel est le cardinal de l'univers et le cardinal des issues favorables ici ?

Tu as le droit de garder le silence, tout ce que tu diras pourra être retenu contre toi.

OShine

$card \  \Omega =N^n$
$card \  (A_i)= \binom{n}{i} 1^i (k-1)^{n-i}$.